§2 数列极限

◾数列极限是微积分内容的核心，极限思想贯穿于整个微积分内容之中.

◾数列极限是微积分最基本，最核心，最重要，最难的内容.

数列定义：无限排列的一列数 $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $…$ , $a_n$ , $…$ 称为数列，记作 $\left\{ a_n \right\}$ ，称 $a_n$ 为数列的通项.

设函数 $y=f(x)$ , $x\in D$ ，特别地 $D=N= \left\{ 1,2,3,… \right\}$ ，函数为 $y=f(x)$ , $x\in N$ ，或写为 $y=f(n)$ , $n\in N$ ，称为自变量取整函数.

由于它的自变量取值可以按照自然数大小的顺序排列成一无限列 $n$ $:$ $1$ , $2$ , $3$ , $…$ , $n$ , $…$ ，相应的函数值也可以成一无限列 $f(n)$ $:$ $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ , $…$ , $f(n)$ , $…$ 称为数列，记作 $\left\{ f(n) \right\}$ ， $f(n)$ 称为数列的通项，记 $a_n = f(n)$ , $n=$ $1$ , $2$ , $3$ , $…$

数列可以写为 $a_1$ , $a_2$ , $…$ , $a_n$ , $…$ ，称为数列，记作 $\left\{ a_n \right\}$ ， $a_n$ 称为数列的通项.

给一个数列 $\left\{ a_n \right\}$ ，看随着 $n$ 无限增大， $a_n$ 的变化趋势.

【例1】 $\left\{ \frac {1}{n} \right\}$

$1$ , $\frac {1}{2}$ , $\frac {1}{3}$ , $\frac {1} {4}$ , $…$ , $\frac {1} {n}$ , $…$ 极限是0.

【例2】 $\left\{ 1 \right\}$

$1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $…$ , $1$ , $…$ 极限是1.

【例3】

$1$ , $0$ , $\frac {1} {2}$ , $0$ , $\frac {1}{3}$ , $0$ , $…$ , $\frac {1} {n}$ , $0$ , $…$ 极限是0.

【例4】 $\left\{ (-1)^n \right\}$

$-1$ , $1$ , $-1$ , $1$ , $…$ , $(-1)^n$ , $…$ 无极限.

【例5】 $1$ , $2^2$ , $3^3$ , $…$ , $n^2$ , $…$ 无极限.

主要研究一个数列 $\left\{ a_n \right\}$ 有极限 $a$ .

定义：设 $\left\{ a_n \right\}$ 是一个给定的数列， $a$ 是一个确定的常数，随着 $n$ 无限增大，有 $a_n$ 与 $a$ 无限地接近，称数列 $\left\{ a_n \right\}$ 当 $n \to \infty$ 时的极限是 $a$ ，记作 $\lim \limits_{x\to \infty} a_n = a$ 或 $a_n \to a$ ( $n \to \infty$ ).

这个不是数学语言，找数学语言的表达式.#

【1】 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac {1} {n} =0$

【2】 $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac {1}{n} )^n = e$

【3】 $\lim\limits_{x \to \infty} n^ \frac {1} {n} = 1$

【4】 $\lim\limits_{x \to \infty } \sqrt [n]{a} =1$

【5】 $\lim\limits_{x\to \infty} (1- \frac {1}{n}) ^n = \frac {1}{e}$

【6】 $\lim\limits_{x\to \infty} ( \frac {\sqrt {1 \cdot 2 }}{{n^2+1}} + \frac {\sqrt {2 \cdot 3 }}{{n^2 + 3}} +\cdot \cdot \cdot \frac {\sqrt { n(n+1) }}{{n^2 + n}}) = ?$

分析：随着 $n$ 无限增大， $a_n$ 与 $a$ 无限地接近，如何衡量？

即 $\forall \varepsilon ＞0$ ，要使 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ ，但是不是对所有项都满足，而是找到 $\exists N$ （自然数）.当 $n＞N$ 时，都要 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ 成立.

这里，先有 $\varepsilon$ ，再定 $N$ ，而且 $\varepsilon$ 越小， $N$ 越大.

定义：设 $\left\{ a_n \right\}$ 是一个给定的数列， $a$ 是一个确定的常数.如果 $\forall \varepsilon ＞0$ ， $\exists$ 自然数 $N$ ，当 $n＞N$ 时，都有 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ ，称数列 $\left\{ a_n \right\}$ 当 $n$ 趋于无穷大时的极限是 $a$ ，记作 $\lim\limits_{x\to\infty } a_n = a$ 或 $a_n \to a$ $(n \to \infty)$ 称为 $\varepsilon -N$ 定义.

注意：

1. $\varepsilon$ 的任意性：定义 $\varepsilon$ 是一切正数.实际上这个 $\varepsilon$ 指的是小.可以限制 $\varepsilon$ 小于某个正数，但是不能限制 $\varepsilon$ 大于某个正数， $\varepsilon$ 可以用 $\varepsilon ^2$ , $\sqrt {\varepsilon }$ , $…$ 代替，但是 $\varepsilon$ 不能换成 $\sqrt {\varepsilon } +1$ .

2. $N$ 的相应性： $N$ 随着 $\varepsilon$ 变化而变化. $\varepsilon$ 越小， $N$ 越大.如果能找到一个 $N$ ，就可以找到无数个 $N$ .这里 $N$ 是下标的一个界限. $N$ 不要求是自然数， $n$ 一定是自然数，而且 $N$ 不是 $\varepsilon$ 的函数.

3.几何意义：若 $\lim\limits_{x\to\infty } a_n = a$ ，由 $\varepsilon ＞0$ ， $\exists$ 自然数 $N$ .当 $n＞N$ 时，都有 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ $(\Leftrightarrow -\varepsilon ＜ a_n - a ＜\varepsilon )$ $\Leftrightarrow$ $a-\varepsilon ＜a_n＜a+\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $a_n\in (a-\varepsilon , a+\varepsilon ) \triangleq \cup (a , \varepsilon )$ .即对 $a$ 的任何 $\varepsilon$ 邻域 $\cup (a , \varepsilon )$ 在邻域外面仅有数列的有限项，其余项统统都落在 $\cup (a , \varepsilon )$ 内.

几何意义

分析法：

【例】证明 $x＞e$ 时，都有 $x^2 - 3x +2 ＞0$ .

证：要证 $x^2 - 3x +2 ＞0$ 成立，只要证 $(x-2)(x-1)＞0$ 成立，只要证 $x＜1$ 或 $x＞2$ 成立.

由 $x＞e$ $\Rightarrow$ $x＞2$

∴ $x^2 - 3x +2 ＞0$

【例】证明 $\lim\limits_{x\to \infty } \frac {1}{n^k} =0$ （ $k＞0$ ，常）.

证： $\forall \varepsilon ＞0$ ，若要 $\vert \frac {1}{n^k}-0 \vert ＜\varepsilon$ 成立

§2 数列极限

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