小题{计数原理,四面体，异面直线对数，景点选择}

四面体的顶点和各楼中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？

尝试解答

【问题特征】计数问题.
【问题的解答】思路排除法.
解如图1，

图1

从10个点中任取4个点的不同取法种数为 $C_{10}^4$ .其中取出的4个点共面的情况有：
（1）从四面体同一表面上的6个点中取出4个点，有 $4C_{6}^4$ 种取法；
（2）从平行四边形截面的四个顶点中取出4个点，平行四边形截面有MNTQ，PQRN，MPTR，故有 $3C_{4}^4$ 种取法；
（3）取四面体的一条被上的3个点与对梭的中点，有6种取法。
因此，满足条件的取法种数为
$N=C_{10}^4-4C_{6}^4-3C_{4}^4-6=141$ .
【注意点】
1.解决计数问题需分清是排列问题还是组合问题，排列问题的特点是既取又排，而组合问题的特点是只取不排，本题取出不共面的4点与顺序无关，属于组合问题.
2.本题用排除法解决，关键是去掉取出的四点共面的各种情况，其中情况（3）极易遗漏.
【相关问题】
1.已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ ，过每两个顶点作直线，在这些直线中有___对异面直线.

尝试解答

【答案与提示】

提示：每一对异面直线对应一个四面体，如异面直线 $AC$ ， $BD_1$ ，对应四面体 $ABCD_1$ .而每一个四面体对应三对异面直线，如四面体 $ABCD_1$ ，对应三对异面直线AC， $BD_1$ ；AB， $CD_1$ ；BC， $AD_1$ .因为以正方体的顶点为顶点的四面体有 $C_{8}^4-12$ 个（共面的情况为6个表面，6个对角面），所以有
$(C_{8}^4-12)\times 3=174$ 对异面直线.

2，如图2，北京周边供游客浏览的景点有8个.为了防止奥运公期间景点过于拥挤，规定每个游客一次只能游玩4个景点，而且一次游玩景点中至多有两个相邻（如：选择A，B、E.F四个景点也是允许的），那么Jark现在要分两次把8个景点游玩一遍，不同的选择方法共有___种.

图2

【答案与提示】

提示：（方法1）分3类：
（1）有两个相邻.如第一次游玩AB，EF，第二次游玩CD，GH，有4种选择方法；
（2）仅有一个相邻，如第一次游玩仅含AB相邻的选择方法有ABDF，ABDG，ABEG，共3种，故仅有一个相邻有8×3种选择方法；
（3）没有相邻，如第一次游玩A.C，E，G，有2种选择方法.
因此，不同的选择方法共有N=4+8×3+2-
30种.

（方法2）从8个景点中选4个景点作为第一次游玩的景点，有 $C_{8}^4$ 种选法，其中不满足“一次游玩景点中至多有两个相邻”的选法的情况有：
（1）选出的4个景点是相邻的，有8种选法；
（2）第一次选出的4个景点中有3个相邻，有3×8种；（3）第一次选出的4个景点中有2个相邻，且第二次选择的景点有3个相邻，如含AB的有ABDE，ABFG，共2个，故共有 $\frac{2 \times 8}{2}$ 个.因此不同的选择方法的种数为
$N=C_{8}^4-8-3 \times 8-\frac{2 \times 8}{2}=30$ 种.

小题{计数原理,四面体，异面直线对数，景点选择}

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