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1.1

1.1

考虑两个命题 $A,B$ ，充分性与必要性的定义

元素，集合，子集，空集，并集，交集，笛卡尔积

向量，元组，球

边界集，内部集，开集，闭集、

凸集：

对 $S\subset X$ ，若 $x,y\in S\Rightarrow\alpha x+(1-\alpha)y\in S,\forall \alpha\in[0,1]$ ，则 $S$ 为凸集

映射 $f:D\rightarrow R$

单射one-to-one

满射onto

双射bijection

设 $C$ 为凸集，函数 $f:C\rightarrow\mathbb R$

①凹函数 $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$

②严格凹函数 $f(\alpha x+(1-\alpha)y)>\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$

③凸函数 $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$

④严格凸函数 $f(\alpha x+(1-\alpha)y)<\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$

函数 $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ 在点 $x^0$ 处连续，若 $\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0$ 满足， $d(x,x^0)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(x^0))<\varepsilon$

$n$ 元二次型：

$Q(x_1,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{ij}x_ix_j+...+a_{nn}x_n^2$

其中 $Q(x)=x^TAx$

正定，负定，半正定，半负定，不定

令 $A$ 为对称矩阵且 $D_k$ 为其顺序主子式

$A$ 为正定矩阵，若 $D_k>0,\forall k=1,...,n$

$A$ 为负定矩阵，若 $(-1)^kD_k>0,\forall k=1,...,n$

最优化问题： $\max_{x_1,x_2}f(x_1,x_2)\qquad s.t.\quad g(x_1,x_2)=0$

点 $x^*\in S$ 为局部最优，若 $\exists B(x^*)s.t.f(x^*)\geq f(x),\forall x\in B(x^*)$

点 $x^*\in S$ 为全局最优，若 $f(x^*)\geq f(x),\forall x\in S$

令 $f(x)$ 为定义在区域 $D$ 内部、二阶连续可导的函数

①若点 $x^*$ 为局部最优，则 $f^\prime_i(x^*)=0,i=1,..,n$

②若点 $x^*$ 满足 $f^\prime_i(x^*)=0,i=1,..,n$ ，则 $x^*$ 为驻点

Hessian矩阵 $H(x)=(f_{ij}(x))_{n\times n}$ ， $x^*,\tilde x\in D$ 为内点

内部最优的必要条件：

①若 $f(x)$ 在 $x^*$ 达到最大值，则 $H(x^*)$ 为半负定

②若 $f(x)$ 在 $\tilde x$ 达到最小值，则 $H(\tilde x)$ 为半正定

内部最优的充分条件：

①若 $H(x^*)$ 为负定，则 $f(x)$ 在 $x^*$ 达到最大值

②若 $H(\tilde x)$ 为正定，则 $f(x)$ 在 $\tilde x$ 达到最小值

拉格朗日方法：

$\max_{x_1,x_2}f(x_1,x_2)\qquad s.t\quad g(x_1,x_2)=0$

构造拉格朗日函数：

$\mathcal L(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)+\lambda g(x_1,x_2)$

一阶条件： $\frac{\partial\mathcal L}{\partial x_1}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial x_2}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial \lambda}=0$

包络问题：

$M(a)=\max_xf(x,a)\qquad s.t.\quad g(x,a)=0$

则由包络定理有：

$\frac{\partial M(a)}{\partial a_j}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial a_j}|_{x(a),\lambda(a)},j=1,...,m$

加边Hessian矩阵：即最大最小化问题的二阶条件

考虑 $\mathcal L=f(x_1,...,x_n)+\sum_{j=1}^m\lambda_j[a_j-g_j(x_1,...,x_n)]$ ，其中 $m<n$

自 $H^B$ 开始，检验 $n-m$ 个主子式

①若 $|H^B|$ 的符号为 $(-1)^n$ 且其余主子式依次改变符号，则 $x^*$ 为最大值点

②若主子是的符号均为 $(-1)^m$ ，则 $x^*$ 为最小值点

最后编辑于：2020.09.15 16:06:46

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