第四章时变电磁场

波动方程

在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电磁场 $\vec{E}$ 和磁场 $\vec{H}$ 满足波动方程 $\Delta^2 \vec{E} - \mu \varepsilon \frac{ \partial^2 \vec{E} }{ \partial t^2}=0$ $\Delta^2 \vec{H} - \mu \varepsilon \frac{ \partial^2 \vec{H} }{ \partial t^2}=0$

动态矢量位和标量位

在时变电磁场中，动态矢量位 $\vec{A}$ 和动态标量位 $\varphi$ 的定义为 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ $\vec{E} = - \frac{ \partial \vec{A} }{ \partial t } - \nabla \varphi$ 应用洛伦兹条件 $\nabla \cdot \vec{A} + \mu \varepsilon \frac{ \partial \varphi }{ \partial t} = 0$ 可得到 $\vec{A}$ 和 $\varphi$ 的微分方程为 $\nabla^2 \vec{A} - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu \vec{J}$ $\nabla^2 \varphi - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = -\frac{1}{\varepsilon} \rho$

坡印廷定理和坡印廷矢量

坡印廷定理

坡印廷定理表征了电磁场能量守恒关系，其微分形式为 $- \nabla \cdot ( \vec{E} \times \vec{H} ) = \frac{ \partial }{ \partial t }(\frac{1}{2} \vec{H} \cdot \vec{B} + \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D}) + \vec{E} \cdot \vec{J}$ 积分形式为 $- \oint_S (\vec{E} \times \vec{H}) \cdot d \vec{S} = \frac{d}{dt} \int_V ( \frac{1}{2} \vec{H} \cdot \vec{B} + \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D} ) dV + \int_V \vec{E} \cdot \vec{J} dV$ 坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面 $S$ 进入体积 $V$ 的电磁能量等于单位时间内体积 $V$ 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。

坡印廷矢量 $\vec{S}$

坡印廷矢量是描述电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为 $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \quad W/m^2$ 它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传输的方向。

时谐电磁场

时谐电磁场的复数表示法

以一定角频率做时谐变化的电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
时谐电磁场可用复数形式来表示 $\vec{E} ( \vec{r} ,t) =Re[\vec{E(r)}e^{j \omega t}]$ 其中 $\vec{E(r)}=\vec{e_x}E_{xm}(\vec{r})e^{j \phi_x(r)} +\vec{e_y}E_{ym}(\vec{r})e^{j \phi_y(r)} + \vec{e_z}E_{zm}(\vec{r})e^{j \phi_z(r)}$ 成为电场强度 $\vec{E}$ 的复数形式或复适量。

麦克斯韦方程的复数形式

时谐电磁场的复矢量满足的麦克斯韦方程为 $\nabla \times \vec{H} ( \vec{r} ) = \vec{J} ( \vec{r} ) +j \omega \vec{D} ( \vec{r} )$ $\nabla \times \vec{E} ( \vec{r} ) = - j \omega \vec{B} ( \vec{r} )$ $\nabla \cdot \vec{B} ( \vec{r} ) = 0$ $\nabla \cdot \vec{D} ( \vec{r} ) = \rho ( \vec{r} )$

复电容率和复磁导率

在时谐电磁场中，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特征的参数是复介电常数（即复电容率） $\vec{\varepsilon} = \vec{\varepsilon '}-j \vec{\varepsilon ''}$ 对于存在磁化损耗的磁介质，表征其磁化特性的参数是复磁导率 $\mu_c = \mu' - j \mu''$ 对于介电常数为 $\varepsilon$ 、电导率为 $\sigma$ 的导电媒质，其损耗特性可用等效复介电常数 $\varepsilon_c$ 来描述 $\varepsilon_c = \varepsilon - j \frac{\sigma}{\omega}$

波动方程的复数形式

在无源空间中，电场 $\vec{E}$ 和磁场 $\vec{H}$ 的复矢量满足的波动方程为 $\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0$ $\nabla^2 \vec{H} + k^2 \vec{H} = 0$ 称为亥姆霍兹方程，其中 $k^2 = \omega ^2 \mu \varepsilon$

动态矢量位和标量位的复数形式

在时谐电磁场中，动态矢量位 $\vec{A}$ 和动态标量位 $\varphi$ 的复数形式定义为 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ $\vec{E} = - j \omega \vec{A} - \nabla \varphi$ 洛伦兹条件为 $\nabla \cdot \vec{A} + j \omega \mu \varepsilon \varphi = 0$ 可得到 $\vec{A}$ 和 $\varphi$ 的微分方程为 $\nabla^2 \vec{A} + \omega^2 \mu \varepsilon \vec{A} = - \mu \vec{J}$ $\nabla^2 \varphi + \omega^2 \mu \varepsilon \varphi = - \frac{1}{\varepsilon} \rho$

平均坡印廷矢量 $\vec{S_{av}}$

在时谐电磁场中，一个周期 $T$ 内的平均能流密度矢量 $\vec{S_{av}}$ （即平均坡印廷矢量）为 $\vec{S_{av}} = \frac{1}{T} \int^T_0 \vec{S} dt = \frac{\omega}{2 \pi} \int_0^{2 \pi / \omega} \vec{S} dt$ 用复矢量来计算则为 $\vec{S_{av}} = \frac{1}{2} Re [\vec{E} \times \vec{H}^*]$

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第四章 时变电磁场