随机过程不连续是否可分的例子

probability - Prove that two definitions of Separable Processes are equivalent - Mathematics Stack Exchange

连续与可分的相关例子

连续随机过程(样本函数连续的过程)是完全可分的。
样本函数不连续的过程可能：完全可分、可分但不完全可分、不可分。

1. 样本函数不连续，但是完全可分

$T=[0,1],\Omega=[0,1],{F}=[0,1]$ 上的勒贝格可测集所成的 $\sigma$ 代数。

定义

$x_t(\omega)=\left\{\begin{aligned} 0&,\text{ if } 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ 1&,\text{ if } \frac{1}{2} < t \leq 1 \end{aligned}\right.,\omega\in[0,1]$

可见 $\forall \omega\in[0,1],x_t(\omega)$ 是 $t$ 的阶梯函数，跳跃点为 $\displaystyle\frac{1}{2}$ ,

则对于任意 $T$ 的可列稠密子集 $R$ ， $x_t$ 都可分。

证明如下：对于任意 $T$ 的可列稠密子集 $R$ ，

$\forall \omega \in [0,1],\forall t\in [0,1]\setminus\{\displaystyle\frac{1}{2}\}$ ,

可以在 $t$ 的足够小的领域内取逼近 $t$ 的 $R$ 中的点列 $r_n$ ，使得

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_{n}=t$ 且 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=x_{t}(\omega)$ ;

当 $t=\displaystyle\frac{1}{2}$ 时，取从 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 的左端逼近 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 的 $R$ 中的点列 $r_n$ ，使得

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=x_{\frac{1}{2}}(\omega)=0$ .

2. 样本函数不连续，可分但不完全可分

$T=[0,1],\Omega=[0,1],{F}=[0,1]$ 上的勒贝格可测集所成的 $\sigma$ 代数。

定义

$x_t(\omega)=\left\{\begin{aligned} 1&,\text{ if } t=\frac{1}{2},\\ 0&,\text{ if } t \neq \frac{1}{2}, \end{aligned}\right.t \in[0,1],\omega\in[0,1]$

则存在 $T$ 的可列稠密子集 $R_1$ ，使得 $x_t$ 对于 $R_1$ 可分。

也存在 $T$ 的可列稠密子集 $R_2$ ，使得 $x_t$ 对于 $R_2$ 不可分。

证明如下：取 $R_1$ 为 $[0,1]$ 上的有理数的集合，则 $R_1$ 是 $T$ 的可列稠密子集，

$\forall \omega \in [0,1],\forall t\in [0,1]\setminus\{\displaystyle\frac{1}{2}\}$ ,可以取任意逼近 $t$ 的 $R_1$ 中的点列 $r_n$ ，使得

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_{n}=t$ 且 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=x_{t}(\omega)=0$ ;

当 $t=\displaystyle\frac{1}{2}$ 时，取 $\{r_n\}=\{\displaystyle\frac{1}{2}\}$ ，使得

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 且 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=x_{\frac{1}{2}}(\omega)=1$ .

取 $R_2=R_1\setminus\{\displaystyle\frac{1}{2}\}$ ，则 $R_2$ 是 $T$ 的可列稠密子集，

$\forall \omega \in [0,1],\exists t_0=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，使得对于任意逼近 $t_0$ 的 $R_2$ 中的点列 $r_n$ ，

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_{n}=t_0$ 但 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=0\neq x_{t_0}(\omega)=1$ .

3. 样本函数不连续，不可分

$T=[0,1],\Omega=[0,1],{F}=[0,1]$ 上的勒贝格可测集所成的 $\sigma$ 代数。

定义

$x_{t}(\omega)=\left\{\begin{aligned} 1, & \text { if } t=\omega, \\ 0, & \text { if } t \neq \omega, \end{aligned} t \in[0,1], \omega \in [0,1]\right.$

则 $x_t$ 是不可分的。

证明如下：假设 $x_t$ 可分，则存在 $T$ 的可列稠密子集 $R$ ，及概率为零的集 $N$ ，使得

$\forall \omega \notin N,\forall t\in T,\exists r_n \in R,\text{ s.t. }\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_{n}=t\text{且}\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{r_{n}}(\omega)=x_{t}(\omega)=0.$