可分定义相关
probability theory - Definition of separable stochastic process. Which is the "intuition" behind such a definition? - Mathematics Stack Exchange
probability - Prove that two definitions of Separable Processes are equivalent - Mathematics Stack Exchange
连续与可分的相关例子
1. 样本函数不连续，但是完全可分
![T=[0,1],\Omega=[0,1],{F}=[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=T%3D%5B0%2C1%5D%2C%5COmega%3D%5B0%2C1%5D%2C%7BF%7D%3D%5B0%2C1%5D)
上的勒贝格可测集所成的
代数。
定义
![x_t(\omega)=\left\{\begin{aligned} 0&,\text{ if } 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ 1&,\text{ if } \frac{1}{2} < t \leq 1 \end{aligned}\right.,\omega\in[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=x_t(%5Comega)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%200%26%2C%5Ctext%7B%20if%20%7D%200%5Cleq%20t%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%201%26%2C%5Ctext%7B%20if%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3C%20t%20%5Cleq%201%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%2C%5Comega%5Cin%5B0%2C1%5D)
可见![\forall \omega\in[0,1],x_t(\omega)](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20%5Comega%5Cin%5B0%2C1%5D%2Cx_t(%5Comega))
是
的阶梯函数，跳跃点为
,
则对于任意
的可列稠密子集
，
都可分。
证明如下：对于任意的可列稠密子集，
![\forall \omega \in [0,1],\forall t\in [0,1]\setminus\{\displaystyle\frac{1}{2}\}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20%5Comega%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%2C%5Cforall%20t%5Cin%20%5B0%2C1%5D%5Csetminus%5C%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%7D)
,
可以在的足够小的领域内取逼近的中的点列
，使得
且%3Dx_%7Bt%7D(%5Comega))
;
当
时，取从的左端逼近的中的点列，使得
且%3Dx_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(%5Comega)%3D0)
.
2. 样本函数不连续，可分但不完全可分
上的勒贝格可测集所成的代数。
定义
![x_t(\omega)=\left\{\begin{aligned} 1&,\text{ if } t=\frac{1}{2},\\ 0&,\text{ if } t \neq \frac{1}{2}, \end{aligned}\right.t \in[0,1],\omega\in[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=x_t(%5Comega)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%201%26%2C%5Ctext%7B%20if%20%7D%20t%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%200%26%2C%5Ctext%7B%20if%20%7D%20t%20%5Cneq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.t%20%5Cin%5B0%2C1%5D%2C%5Comega%5Cin%5B0%2C1%5D)
则存在的可列稠密子集
，使得对于可分。
也存在的可列稠密子集
，使得对于不可分。
证明如下：取为![[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C1%5D)
上的有理数的集合，则是的可列稠密子集，
,可以取任意逼近的中的点列，使得
且%3Dx_%7Bt%7D(%5Comega)%3D0)
;
当时，取
，使得
且%3Dx_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(%5Comega)%3D1)
.
取
，则是的可列稠密子集，
![\forall \omega \in [0,1],\exists t_0=\displaystyle\frac{1}{2}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20%5Comega%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%2C%5Cexists%20t_0%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
，使得对于任意逼近
的中的点列，
但 %3D0%5Cneq%20x_%7Bt_0%7D(%5Comega)%3D1)
.
3. 样本函数不连续，不可分
上的勒贝格可测集所成的代数。
定义
![x_{t}(\omega)=\left\{\begin{aligned} 1, & \text { if } t=\omega, \\ 0, & \text { if } t \neq \omega, \end{aligned} t \in[0,1], \omega \in [0,1]\right.](https://math.jianshu.com/math?formula=x_%7Bt%7D(%5Comega)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%201%2C%20%26%20%5Ctext%20%7B%20if%20%7D%20t%3D%5Comega%2C%20%5C%5C%200%2C%20%26%20%5Ctext%20%7B%20if%20%7D%20t%20%5Cneq%20%5Comega%2C%20%5Cend%7Baligned%7D%20t%20%5Cin%5B0%2C1%5D%2C%20%5Comega%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%5Cright.)
则是不可分的。
证明如下：假设可分，则存在的可列稠密子集，及概率为零的集
，使得
%3Dx_%7Bt%7D(%5Comega)%3D0.)
则
，当
时，%3D1)
，当
时，%3D0)
,
要使%3Dx_%7Bt%7D(%5Comega)%3D0)
，只有
，因此
.
所以%5Cge%20P(%5COmega)-P(N)%3D1)
，即%3D1)
.
这与假设是可列的矛盾。综上，不可分。
