微积分学习笔记-以圆柱薄壳模式计算体积

圆柱薄壳公式

夹在连续函数y = f(x) \ge 0, 0 \le a \le x \le b与x轴之间的区域绕一根铅直线旋转一周产生的立体体积是
V = \int _a^b (圆柱薄壳半径)(圆柱薄壳高度)dx

例1 由x轴和抛物线y = f(x) = 3x - x^2围成的区域绕直线x = -1旋转一周产生一个立体。这个立体的体积是多少?

r(x)= 1 + x
h(x)= 3x - x^2
V = 2\pi \int_0^3 r(x). h(x) dx
= 2\pi \int_0^3 (1+x)(3x-x^2)dx
=2\pi [-\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_0^3
=\frac{45}{2}\pi

例2 由曲线y = \sqrt x, x轴和直线x = 4围成的区域绕y轴转一周产生一个立体。求这个立体的体积?

薄壳半径
r(x) = x
薄壳高度
h(x) = \sqrt x
积分限为[0, 4]
则
V = 2\pi \int_0^4 h(x)r(x) dx
= 2\pi \int_0^4 x^{\frac{3}{2}}dx
= [\frac{5}{2}x^{\frac{2}{5}}]_0^4
= \frac{128\pi}{5}

例3 由曲线y = \sqrt x, x轴和直线x = 4围成的区域绕x轴旋转一周产生一个立体，求这个立体的体积。

对y进行积分
x = y^2
薄壳半径为y
薄壳高度为4 - y^2
针对厚度变量求积分限(y从0到2), 则
V = \int_{0}^{2}y(4 - y^2)dy
= |2y^2 - \frac{1}{4}y^4|_0^2
=8\pi

如何应用圆柱薄壳方法

  1. 作出区域草图并画一根平行于旋转轴的线段横穿它. 给线段的高度（圆柱薄壳高度）、旋转轴的距离(圆柱薄壳半径)和线段的宽度(圆柱薄壳厚度)作上标记。
  2. 针对厚度变量求积分限并写体积的积分
  3. 针对厚度变量(x或y),积分乘积“2\pi(圆柱薄壳半径)(圆柱薄壳高度)”求体积
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