二分查找算法是什么
二分查找又叫折半查找，是一种简单又快速的查找算法；它对要查找的序列有两个要求，一是该序列必须是有序的（即该序列中的所有元素都是按照大小关系排好序的，升序和降序都可以），二是该序列必须是顺序存储的。
当我们要从一个序列中查找一个元素的时候，二分查找是一种非常快速的查找算法，二分查找又叫折半查找。
它对要查找的序列有两个要求，一是该序列必须是有序的（即该序列中的所有元素都是按照大小关系排好序的，升序和降序都可以，本文假设是升序排列的），二是该序列必须是顺序存储的。
如果一个序列是无序的或者是链表，那么该序列就不能进行二分查找。之所以被查找的序列要满足这样的条件，是由二分查找算法的原理决定的。
算法原理
- 如果待查序列为空，那么就返回-1，并退出算法；这表示查找不到目标元素。
- 如果待查序列不为空，则将它的中间元素与要查找的目标元素进行匹配，看它们是否相等。
- 如果相等，则返回该中间元素的索引，并退出算法；此时就查找成功了。
- 如果不相等，就再比较这两个元素的大小。
- 如果该中间元素大于目标元素，那么就将当前序列的前半部分作为新的待查序列；这是因为后半部分的所有元素都大于目标元素，它们全都被排除了。
- 如果该中间元素小于目标元素，那么就将当前序列的后半部分作为新的待查序列；这是因为前半部分的所有元素都小于目标元素，它们全都被排除了。
- 在新的待查序列上重新开始第1步的工作。
二分查找之所以快速，是因为它在匹配不成功的时候，每次都能排除剩余元素中一半的元素。因此可能包含目标元素的有效范围就收缩得很快，而不像顺序查找那样，每次仅能排除一个元素。
二分查找的框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。
其中...标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) / 2。
寻找一个数（基本的二分搜索）
搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) { // 注意
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
- 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(search space)。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target) return mid;
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到。
while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
//...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
- 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
- 此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
寻找左侧边界的二分搜索
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
- 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答：用相同的方法分析，因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空，所以可以正确终止。
为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
while (left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
- 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。
- 为什么该算法能够搜索左侧边界？
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
if (nums[mid] == target) right = mid;
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
- 为什么返回 left 而不是 right？
答：返回left和right都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。
寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
- 为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里： if (nums[mid] == target) left = mid + 1;
当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
- 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left - 1]可能是target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
- 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
总结
先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
注意
- 分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
- 注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
- 如需要搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
就算遇到其他的二分查找变形，运用这几点技巧，也能保证你写出正确的代码。LeetCode Explore 中有二分查找的专项练习，其中提供了三种不同的代码模板，现在你再去看看，很容易就知道这几个模板的实现原理了。
