2019-05-11

高斯分布（正态分布）、Q函数、误差函数、互补误差函数
高斯分布
- 随机变量服从均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$ ，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ ,记为 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
- 当，称为标准正态分布，记为
  - $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{ 2}}$
- 最大值是 $x = \mu$ ， $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}$
- 对称轴是 $x = \mu$
- 一般高斯分布函数为 $F(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt$
- 标准正态分布函数 $\theta(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^2}{2}} dt$
- 假如 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,则 $P(x_1<X<x_2) = \theta(\frac{x_2-\mu}{\sigma}) - \theta(\frac{x_1-\mu}{\sigma})$
Q函数
又称标准正态分布的右尾函数
- $Q(x) = \int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = 1-\theta(x)$
误差函数
- $erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$
互补误差函数
- $erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x)$
各函数之间的关系
$Q(x) = 1-\theta(x)$
$Q(x) = \frac{1}{2}erfc(x/\sqrt{2})$
$erfc(x) = 2Q(\sqrt{2})$
$erf(x) = 1-2Q(\sqrt{2})$
$erf(x)+erfc(x) = 1$
各函数积分之间的关系
由高斯分析密度函数的总积分为1得
- $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{ 2}} dx= 1$
- $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{ 2}} dx = \sqrt{2\pi}$
- $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
- $\int_{0}^{\infty}e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

2019-05-11

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