1.基本公式

$v_0$ 是初速度，t是时间，a是加速度， $v$ 是末速度

(1). $v=v_0+at$

(2). $x=-\frac{1}{2} gt^2+v_0t$

(3). $v^2-v_0^2=2ax$

(4). $\bar{v}=\frac{v_0 + v}{2}$

对应自由落体公式，即 $v_0=0$ , $a=g$ , $g$ 是重力加速度, $\bar{v}$ 是平均速度

(1). $v=gt$

(2). $x=-\frac{1}{2} gt^2$

(3). $v^2=2gx \Rightarrow v=\sqrt{2gx}$

(4). $\bar{v} =\frac{v}{2}$

参考文章：

匀变速直线运动的速度位移关系（重点比较中时速和中位速）

【高中】匀变速直线运动-自由落体运动

2.给定起始点 $P_0(x,y)$ ，目标点 $P_1(x,y)$ ，重力加速度 $g$ ，初速度 $v_0$ ，求发射角度 $\theta$

设水平距离为 $X=P_1.x-P_0.x$ ,垂直差为 $h=P_1.y-P_0.y$

初速度 $v_0$ 分解为水平初速度 $v_0 \cdot cos\theta$ ，垂直速度为 $v_0 \cdot sin\theta$

抛物线分解成两个方向，水平移动量为匀速运动， $X=v_0t=v_0 \cdot cos\theta \cdot t$

垂直方向移动为匀加速运动， $Y=-\frac{1}{2} gt^2+v_0t \Rightarrow Y= -\frac{1}{2} gt^2+v_0 \cdot sin\theta \cdot t$

如果 $P_0$ 与 $P_1$ 与 $Y$ 值不相同则公式为， $Y= -\frac{1}{2} gt^2+v_0 \cdot sin\theta \cdot t - h$ ,即减掉 $h$ 时 $Y$ = 0

为了消除 $t$ ,把水平移动公式转成 $X=v_0 \cdot cos\theta \cdot t\Rightarrow t=\frac{X}{v_0 \cdot cos\theta}$ ,代入垂直方向移动公式

$Y = -\frac{1}{2} g(\frac{X}{v_0 \cdot cos\theta} )^2+v_0 \cdot sin\theta \frac{X}{v_0 \cdot cos\theta} - h$

展开， $Y = -\frac{1}{2} g\frac{X^2}{v_0^2 \cdot cos^2\theta} + v_0 \cdot sin\theta\frac{X}{v_0 \cdot cos\theta} - h$

简化， $Y = -\frac{g X^2}{2v_0^2} \cdot \frac{1}{ cos^2\theta} +X \frac{sin \theta }{cos\theta} - h$ ，

根据三角恒等式,参考链接 https://www.shuxuele.com/algebra/trig-magic-hexagon.html

$\frac{1}{ cos^2\theta} = sec^2 \theta , sec^2 \theta = 1 + tan^2 \theta$

$\frac{sin \theta } {cos \theta} =tan \theta$

得， $Y=-\frac{g X^2}{2v_0^2} \cdot ( 1 + tan^2 \theta ) +X \cdot tan \theta - h$

再展开， $Y = -\frac{g X^2} {2v_0^2} - \frac{g X^2} {2v_0^2} \cdot tan^2 \theta + X \cdot tan \theta - h$

整理得， $Y= -\frac{g X^2}{2v_0^2} \cdot tan^2 \theta +X \cdot tan \theta - h -\frac{g X^2}{2v_0^2}$

得到一个以 $tan \theta$ 为末知数的方程，其中 $a= -\frac{g X^2}{2v_0^2} , b=X , c= - h -\frac{g X^2}{2v_0^2}$

最后用一元二次方程的公式解方程

如果 $\Delta = b^2-4ac$ < 0,则方程无解，等于0两个解相同，大于0两个解

把a,b,c代入公式, $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2- 4ac} }{2a}$

$tan \theta_1 = \frac{-\frac{g X^2}{2v_0^2} + \sqrt{X^2 - 4 \cdot (-\frac{g X^2}{2v_0^2}) \cdot (- h -\frac{g X^2}{2v_0^2} )} } {2 \cdot (-\frac{g X^2} {2v_0^2})}$

$tan \theta_2 = \frac{-\frac{g X^2}{2v_0^2} - \sqrt{X^2 - 4 \cdot (-\frac{g X^2}{2v_0^2}) \cdot (- h -\frac{g X^2}{2v_0^2} )} }{2 \cdot (-\frac{g X^2}{2v_0^2})}$

最后 $\theta_1 = atan(tan \theta_1)$ , $\theta_2 = atan(tan \theta_2)$

参考文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/99477136

3.给定起始点 $P_0(x,y)$ ，目标点 $P_1(x,y)$ ，重力加速度g，发射角度 $\theta$ ，求初速度 $v_0$

求初速度与求发射角前部份公式相同，即

$Y = -\frac{g X^2}{2v_0^2} \cdot \frac{1}{ cos^2\theta} +X \frac{sin \theta }{cos\theta} - h$

当Y=0时， $\frac{g X^2}{2v_0^2 cos^2\theta} = \frac{X sin \theta }{cos\theta} - h$

$\frac{1} {v_0^2 } = \frac{ 2 cos^2 \theta ( \frac {X sin \theta } {cos \theta} - h) } {g X^2}$

$v_0 = \sqrt \frac{g X^2} { 2 cos^2\theta (\frac{X sin \theta }{cos\theta} - h)}$

$v_0 = \sqrt \frac{g X^2} { 2 cos^2\theta (X \cdot tan \theta - h)}$

$v_0$ 即是初速度

参考文章：https://physics.stackexchange.com/questions/60595/solve-for-initial-velocity-of-a-projectile-given-angle-gravity-and-initial-and?rq=1 第二个回答

4.给定起始点P_0(x,y)，目标点P_1(x,y)，重力加速度g，最大高度，求初速度

抛物线

desmos实现 https://www.desmos.com/calculator/vw2esabqru

实现步骤，假定初速度为0

$s=x_2-x_0$ , $h=y_2-y_0$

根据 $v^2-v_0^2 = 2gh$ 公式，由于初速度为0， $v^2 = 2gh$ ,得到垂直初速度

$v_y=\sqrt{sgh}$

再求水平初速度，分开为两段，根据公式 $x = -\frac{1}{2} gt^2 \Rightarrow t = \sqrt {\frac {2x} {g} }$

$t_1 = \sqrt { \frac {2h_m} {g} }$

$t_2 = \sqrt { \frac {2h_m - h} {g} }$

得到总时间 t = t1 + t2 ,将水平距离除以总时间，得到水平初速度

$v_x = \frac{s} {t}$

5.初速度与距离在3D空间里的里转换

V0 为初速度向量

水平分量 Vx = Vector3.ProjectOnPlane(V0, vector3.up)

垂直分量 Vy = Vector3.Project(V0, Vector3.up)

3D空间里的距离，起始点 startPos,目标点targetPos

startPos.y = targetPos.y = 0

水平距离 s = Vector3.Distance(startPos, targetPos)