一、树
1.1树形结构
1.2 基础知识
以多叉树为例:
节点:树上每一个元素都称为节点。例如:1,2,3,4,5,6,21,22,31......
根节点:一棵树只有一个根节点,例如:1
父节点:例如:1可以称之为2,3,4,5,6的父节点
子节点:例如:2,3,4,5,6可以称之为1的子节点
兄弟节点:同一个父节点下面的节点。例如:21,22/51,52
一棵树可以没有任何节点,称为空树。
子树:将下面的节点联合起来看成一颗全新的树。子树可分为左子树和右子树。
节点的度:子树的个数。例如:1--->5;2--->2;3--->1;
树的度:所有节点度中最大值
叶子节点:度为0的节点:例如:21,221,222,223,51......
非叶子节点:度为非0的节点。
层数:根节点在第1层,根节点的子节点在第2层,以此类推......
节点的深度:从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数。例如:2经历了1-2所以深度为2,31经历了1-3-31所以深度为3
节点的高度:从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数。例如:2--22-221,所以高
度为3
树的深度:所有节点深度的最大值
树的高度:所有节点高度中的最大值
注意:一般来说,树的深度等于树的高度
有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系
无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
二、二叉树
2.1 二叉树(有序树)
特点:1.每个节点的度最大为2(最多拥有2棵子树)
2.左子树和右子树是有顺序的
3.即使某节点只有一棵子树,也要区分左右子树
2.2 二叉树的性质
1.非空二叉树的第i层,最多有2^(i-1)个节点(i>=1)
2.在高度为h的二叉树上最多有2^h-1个节点(h>=1)
3.对于任何一颗非空二叉树,如果叶子节点个数为n0,度为2的节点个数为n2,则:n0=n2+1
假设度为1的节点个数为n1,那么二叉树的节点总数n=n0+n1+n2
二叉树的边数T=n1+2*n2=n-1=n0+n1+n2-1
化简得:n0=n2+1
2.3 真二叉树和满二叉树
真二叉树:所有节点的度都要么为0,要么为2
满二叉树:所有节点的度都要么为0,要么为2,且所有的叶子节点都在最后一层。
在同样高度的二叉树中,满二叉树的叶子节点数量最多,总节点数量最多
满二叉树一定是真二叉树,真二叉树不一定是满二叉树
假设满二叉树的高度为h(h>=1)
第i层的节点数量:2^(i-1)
叶子节点数量:2^(h-1)
总结点数量n=2^h-1
h=log2(n+1)
2.4 完全二叉树
2.4.1 概念
完全二叉树:叶子节点只会出现在最后2层,且最后1层的叶子节点都靠左对齐。
完全二叉树从根节点到倒数第二层是一颗满二叉树
满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树
2.4.2 性质
1.度为1的节点只有左子树
2.度为1的节点要么是1个,要么是0个
3.同样节点数量的二叉树,完全二叉树的高度最小
4.假设完全二叉树的高度为h(h>=1),那么
至少有2(h-1)个节点(20+21+22+......+2^(h-2)+1)
最多有2h-1个节点(20+21+22+......+2^(h-1),满二叉树)
h-1<=log2(n)<h(求h,log2(n)向下取整+1)