集合的初见
1.什么是集合？
- 集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称
为这个集合的元素。 - 外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +
替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC 公理化集合论)
2.集合的符号表示
通常情况下
用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·
自然数集合 N: 0, 1, 2, 3, · · ·
整数集合 Z: · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·
3.属于关系
若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A
若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a ∈/ A
4.枚举法
列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示。
A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }
5.叙述法
通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。
P = {x|P(x)}
A = {x|x是英文字母中的元音字母}
B = {x|x ∈ Z, x < 10}
C = {x|x = 2k, k ∈ N}
6.文氏图
文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆
形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。
7.基数
集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)
A = {a, b, c}, |A| = 3
B ={a, {b, c}}, |B| = 2
特殊集合与集合间关系
1.空集
不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
空集可以符号化为 ∅ = {x|x ̸= x}.
空集是绝对唯一的。
设 A = {x|x ∈ R, x2 < 0}, 则 A = ∅
|∅| = 0, |{∅}| = 1
2.全集
针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.在文氏图一般使用方形表示全集。
全集是相对唯一的
在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；
在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。
3.集合的相等关系
集合中的元素是无序的。{1, 2, 3, 4} 与 {2, 3, 1, 4} 相同。
集合中的元素是不同的。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 {1, 2, 3, 4} 相同。
外延性原理
两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B不相等，记为A ̸= B.
4.子集和真子集
设 A,B 是任意两个集合，
- 如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.
- 如果 B ⊆ A 并且 A ̸= B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A.
”⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对 ∀x, 如果 x ∈ B, 则 x ∈ A.
由子集定义可有
∅ ⊆ A
A ⊆ A
5.证明集合相等
设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A
证明：
1 首先证明 A ⊆ B：∀x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ⊆ B.
2 其次证明 B ⊆ A：∀x ∈ B, · · · , x ∈ A. ∴ B ⊆ A.
由以上两点，可知 A=B。
6.n 元集的子集
子集个数 真子集个数
7.幂集
设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A}
x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A
设 A = {a, b, c}，B ={a, {b, c}}，求他们的幂集 P(A) 和 P(B)。
解：P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
P(B) = {∅, {a},{{b, c}},{a, {b, c}}}
集合的运算
1.并集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并集定义为：
A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}
若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∪ B 是选
修了音乐欣赏或选修了西方文学或两门课都同时选修的学生.
2.交集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交集定义为：
A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}
若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∩ B 是即
选修了音乐欣赏又选修了西方文学的学生.
3.补集
设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：
A = {x|x ∈/ A}
若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，全集 U 是所有在校学生，则 A 是没有选修音
乐欣赏的学生.
4.差集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：
A − B = {x|x ∈ A 并且 x ∈/ B}
若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A − B 是选
修了音乐欣赏但没有选修西方文学的学生.
5.对称差集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x ∈/ B)或者(x ∈/A 并且 x ∈ B)}
若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ⊕ B 是只
选修了音乐欣赏和西方文学两门课中某一门的学生
6.并集和交集的扩展
运算定律及其证明
1.集合运算的基本等式
2.基于文氏图的形象理解
3.集合相等的证明
可数集合与不可数集合
1.有限 → 无限，量变 → 质变
2.自然数集的定义
3.如何比较集合的大小？
对于两个有限集合而言，比较二者的大小只需要看集合的基数，但对于无限集合
却没有这么简单。如何比较无限集合的“大小”呢？这里需要采用一种通过判断
两个无限集合之间是否存在一种一一对应的关系来解决这个问题。
4.等势
5.可数集合
6.正奇数集合 O+ 与素数集合 P
6.有理数集合 Q
从有限到无限，不仅仅是简单数量上的变化 (量变)，而引起了本质的改变 (质变)。
- 两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。ℵ0
表示一切可数集合的基数，是一种抽象的表达。 - 表面上个数完全不相等的两个集合之间仍可能存在等势关系，如集合与其真
子集之间，这体现了有限集合和无限集合的根本差别。
7.不可数集合
