㈢矩阵合同性质的应用
2. 正惯性指数p的求解（负惯指q同理）
①(根源方法)特征值: 直接判断 λⁱ 的“正负零”
②(正定方法)：若正定，p=n
③矩阵方法
(理解: 通过矩阵判断 λⁱ 的“正负零”)
❶合同变换法（首选, 快速准确️）
❷正交变换法（建议别用, 太慢☹️）
❸配方法（转化成表达式方法）
i. 通过矩阵写二次表达式
ii. 再配方
iii. 判标准型系数
④表达式方法
（理解: 通过对表达式配方, 判断λⁱ“正负零”）
❶多项式
i. 改写矩阵，合同变换（首选）
ii. 直接配方法
❷完全平方式
i. 先判正定性（正定p=n）
ii. 如果非正定，
则展开成多项式，按“❶”处理
3. 二次型“正定性”的判定
①(根源方法)正惯性指数p=n
②特征值方法: λⁱ＞0，则p=n
③通过矩阵判正定性
❶一般二次型矩阵
正定
i. 充要条件:
λi＞0, p=n, A=DᵀED=DᵀD
ii. 必要条件: 满秩矩阵一切性质
iii. 顺序主子式全为正, aⁱⁱ＞0
负定
i. 充要条件
λi＜0, q=n, A=Dᵀ(-E)D=-DᵀD
ii. 必要条件: 满秩矩阵一切性质
iii. 奇数阶主子式为负, 偶数阶主子式为正
❷分块二次型矩阵
i. 若A, B都正定，
对角元素A, B的对角分块阵正定
ii. 当A, B均对称, 且如图所示对角阵正定时
A, B, (B-CᵀA⁻¹C)均正定
❸用矩阵多项式
矩阵多项式→特征值多项式→解出可能的λⁱ
④通过二次型表达式判正定性
❶多项式：改写二次型矩阵, 矩阵方法
❷完全平方多项式
原理: 二次型的内积属性
完全平方的括号内; ∀x≠0, 括号内Σkⁱxⁱ≠0
→仅当x=0时，完全平方项为零
→Y=CX，C列满秩⇔Cx=0仅有零解
三种情况：
设f = xᵀAx = xᵀ(CᵀΛC)x = yᵀΛy，Y=CX
i. 三个自变量, 完全平方个数≥3
则: f正定⇔C列满秩⇔Cx=0仅零解
ii. 三个自变量, 完全平方个数=3
则: f正定⇔C列满秩⇔|C|≠0
iii. 三个自变量, 完全平方个数＜3
则: f非正定
⑤抽象矩阵判断正定性
❶两个正定矩阵之和仍正定
❷若A的特征值λᴬ＞a，则(A-aE)正定
4.矩阵合同的判定
①(根源方法)正负惯性指数相等: pᴬ=pᴮ, qᴬ=qᴮ
②合同变换法, 判断p, q个数（首选️）
③配方法, 判断p, q个数
④正交变换（非必要不用它，繁）
⑤否定条件：
❶如果不等价，不可能合同
（列，逆，解，秩，关）
❷如果不满足Aˢ≃Bˢ，Aᵂ≃Bᵂ，不可能合同
5. 正交矩阵在二次型中的应用
原理: 几何应用正是利用了正交变换的保形性。
①已知标准型反推二次型
正交变换下, 标准型与二次型矩阵合同且相似
②二次型的几何应用
正交变化下，xᵀx = yᵀQᵀQy = yᵀy
❶二次型f=xᵀAx的最值
i. 合理选取y向量的坐标
ii. 使f=yᵀΛy取最大、小值
iii. 最值点x=Qy
❷f=0的根
i. 合理选取y向量的坐标
ii. 使f=yᵀΛy=0
iii. f的零点x=Qy
❸f(X)/(xᵀx)分式的最值
i. xᵀx = yᵀy
ii. f(X)/(xᵀx) = (yᵀΛy)/(yᵀy)
iii. 分离常数，求最值
❹椭圆面积、椭球体积表面积等
i. 特征值即为各半轴长度
