诱导联络 - 简书

这篇笔记里假设 $(M^m,g)$ 是一个Riemann流形, $\nabla$ 是对应的Levi-Civita联络.

定义1(沿着光滑映射的向量场). 设 $N^n$ 是一个光滑流形, $\varphi:N\rightarrow M$ 是光滑映射. 如果光滑映射 $X:N\rightarrow TM$ 满足 $\forall p\in N$ , $X(p)\in T_{\varphi(p)}M$ , 那么我们称 $X$ 是 $\varphi$ 上的向量场(或者说沿着 $\varphi$ 的向量场). 有时我们也记 $X(p)$ 为 $X_p$ .

$\varphi$ 上向量场的例子有很多, 最重要的情形是 $N=[a,b]\subset\mathbb{R}$ , $\gamma:[a,b]\rightarrow M$ 是光滑映射, 即 $M$ 上的一条光滑道路. 那么此时沿着 $\gamma$ 的向量场就是对每个 $t\in[a,b]$ , (光滑地)赋予一个向量 $X(t)\in T_{\gamma(t)}M$ .

我们(跟随伍鸿熙)引入诱导联络如下:

定义2(诱导联络). 设 $X$ 是沿着 $\varphi:N\rightarrow M$ 的向量场, $p\in N$ , $v\in T_pN$ . 我们定义一个 $\widetilde\nabla_vX\in T_{\varphi(p)}M$ 如下: 设 $U\ni \varphi(p)$ 上有局部标架场 $e_1,\ldots,e_m$ , 那么存在 $\varphi^{-1}(U)$ 上的光滑函数 $X^i$ 使得 $\forall q\in\varphi^{-1}(U)$ , 有 $X(q)=X^i(q)e_i|_{\varphi(q)}$ . 此时我们定义
$\widetilde\nabla_vX\overset{def}{=}vX^ie_i|_{\varphi(p)}+X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$

我们首先要做的就是说明这个定义和 $U$ 及 $e_i$ 的选取无关. 如果还有一个 $\varphi(p)$ 附近的开集 $\widetilde U$ 和局部标架 $\widetilde e_i$ , 那么存在 $\widetilde U\cap U$ 上的 $m^2$ 个光滑函数 $a_i^j$ 使得 $e_i=a_i^j\widetilde e_j$ . 那么 $X(q)=\widetilde X^i(q)\widetilde e_i$ , 其中 $\widetilde X^i(q)=a_j^i(\varphi(q))X^j(q)$ , 并且
$vX^ie_i|_{\varphi(p)}+X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$
$=vX^i\cdot a_i^j(\varphi(p))\widetilde e_j|_{\varphi(p)}+X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}(a_i^j\widetilde e_j)$
$=vX^i\cdot a_i^j(\varphi(p))\widetilde e_j|_{\varphi(p)}+X^i(p)v(a_i^j\circ\varphi)\widetilde e_j+X^i(p)a_i^j(\varphi(p))\nabla_{d\varphi_p(v)}\widetilde e_j$
$=v(X^i\cdot(a_i^j\circ\varphi))\widetilde e_j|_{\varphi(p)}+X^i(p)a_i^j(\varphi(p))\nabla_{d\varphi_p(v)}\widetilde e_j$
$=v\widetilde X^j\widetilde e_j|_{\varphi(p)}+\widetilde X^j(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}\widetilde e_j$
这就说明了定义是良好的, 不依赖于 $U$ 和 $e_i$ 的选择.

如果 $V$ 是 $N$ 上的向量场, $X$ 是 $\varphi: N\rightarrow M$ 上的向量场, 那么我们可以定义一个新的 $\varphi$ 上向量场 $(\widetilde\nabla_VX)(p)=\widetilde\nabla_{V(p)}X$ .

接下来我们要说明诱导联络有的时候确实可以看作联络, 这样才和我们的几何直观相符.

命题3(诱导联络有时可以看作联络). 如果 $v\in T_pN$ , $X\in\Gamma(TN)$ (此时 $d\varphi(X)$ 是 $\varphi$ 上向量场), $Y\in\Gamma(TM)$ , 并且 $X,Y$ 是 $\varphi$ -相关的(即 $\forall q\in N$ , $d\varphi_q(X_q)=Y_{\varphi(q)}$ ), 那么 $\widetilde\nabla_vd\varphi(X)=\nabla_{d\varphi_p(v)}Y$ .
证明. 设 $U\ni\varphi(p)$ , $e_1,\ldots,e_m$ 是 $U$ 上的局部标架场. 设 $d\varphi(X)$ 可以展开为 $d\varphi_q(X_q)=X^i(q)e_i|_{\varphi(q)}$ , $Y$ 可以展开为 $Y_x=Y^i(x)e_i|_x$ .
由向量场 $\varphi$ -相关的定义立即可以得到 $X^i=Y^i\circ\varphi$ .
我们现在可以来计算诱导联络:
$\widetilde\nabla_v(d\varphi(X))=v(X^i)e_i|_{\varphi(p)}+X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$
$=v(Y^i\circ\varphi)e_i|_{\varphi(p)}+Y^i(\varphi(p))\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$
$=d\varphi_p(v)(Y^i)e_i|_{\varphi(p)}+Y^i(\varphi(p))\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i=\nabla_{d\varphi_p(v)}Y$
$\blacksquare$

诱导联络有和联络类似的性质.

命题4. (1)(线性性)设 $u,v\in T_pM$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ , $X$ 是 $\varphi$ 上向量场, 则 $\widetilde\nabla_{u+v}X=\widetilde\nabla_uX+\widetilde\nabla_vX$ , $\widetilde\nabla_{\lambda v}X=\lambda\widetilde\nabla_{v}X$ .
(2)(Leibniz法则)如果 $f\in C^\infty(N)$ , $X$ 是 $\varphi$ 上向量场, 则 $\widetilde\nabla_v(fX)=v(f)X(p)+f(p)\widetilde\nabla_vX$ .
(3)(与度量相容)对任何 $\varphi$ 上向量场 $X,Y$ , $v(\langle X,Y\rangle_g)=\langle \widetilde\nabla_vX,Y(p)\rangle_g+\langle X(p),\widetilde\nabla_v Y\rangle_g$ .
(4)(无挠性)对任何 $N$ 上向量场 $X,Y$ , 有 $\widetilde\nabla_Xd\varphi(Y)-\widetilde\nabla_Yd\varphi(X)=d\varphi([X,Y])$ .
证明. (1)这根据定义是真的很容易验证的, 所以这里略过.
(2)取标架直接计算:
$\widetilde\nabla_v(fX)=v(fX^i)e_i|_{\varphi(p)}+f(p)X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$
$=v(f)X^i(p)e_i|_{\varphi(p)}+f(p)v(X^i)e_i|_{\varphi(p)}+f(p)X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i$
$=v(f)X(p)+f(p)\widetilde\nabla_vX$
(3)直接计算:
$v(\langle X,Y\rangle_g)=v(\langle X^ie_i,Y^je_j\rangle_g)=v(X^iY^j\cdot\langle e_i,e_j\rangle_g\circ\varphi)$
$=v(X^i)Y^j(p)\langle e_i|_{\varphi(p)},e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g+X^i(p)v(Y^j)\langle e_i|_{\varphi(p)},e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g$
$+X^i(p)Y^j(p)d\varphi_p(v)(\langle e_i,e_j\rangle_g)$
$=v(X^i)Y^j(p)\langle e_i|_{\varphi(p)},e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g+X^i(p)v(Y^j)\langle e_i|_{\varphi(p)},e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g$
$+X^i(p)Y^j(p)\langle\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i,e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g+X^i(p)Y^j(p)\langle e_i|_{\varphi(p)},\nabla_{d\varphi_p(v)}e_j\rangle_g$
$=\langle v(X^i)e_i|_{\varphi(p)}+X^i(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_i,Y^j(p)e_j|_{\varphi(p)}\rangle_g$
$+\langle X^i(p)e_i|_{\varphi(p)},v(Y^j)e_j|_{\varphi(p)}+Y^j(p)\nabla_{d\varphi_p(v)}e_j\rangle_g$
$=\langle \widetilde\nabla_vX,Y(p)\rangle_g+\langle X(p),\widetilde\nabla_v Y\rangle_g$
(4)这个我没想出不用坐标系的方法, 这里的方法来自Induced connection is torsion free. 设 $x^1,\ldots,x^n$ 是 $p$ 附近的局部坐标, $u^1,\ldots,u^m$ 是 $\varphi(p)$ 附近的局部坐标, 并且 $X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ , $Y=Y^j\frac{\partial}{\partial x^j}$ , 那么
$\widetilde\nabla_Xd\varphi(Y)-\widetilde\nabla_Yd\varphi(X)=\widetilde\nabla_X\left(Y^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial u^k}\right)-\widetilde\nabla_Y\left(X^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial u^k}\right)$
$=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\left(Y^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\right)\frac{\partial}{\partial u^k}+Y^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\widetilde\nabla_X\frac{\partial}{\partial u^k}$
$-Y^j\frac{\partial}{\partial x^j}\left(X^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i}\right)\frac{\partial}{\partial u^k}-X^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i}\widetilde\nabla_Y\frac{\partial}{\partial u^k}$
$=X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial u^k}+X^iY^j\left(\frac{\partial u^k}{\partial x^i\partial x^j}\right)\frac{\partial}{\partial u^k}+X^iY^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\frac{\partial u^l}{\partial x^i}\nabla_{\frac{\partial}{\partial u^l}}\frac{\partial}{\partial u^k}$
$-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial u^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial u^k}-X^iY^j\left(\frac{\partial u^k}{\partial x^i\partial x^j}\right)\frac{\partial}{\partial u^k}-X^iY^j\frac{\partial u^k}{\partial x^i}\frac{\partial u^l}{\partial x^j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial u^l}}\frac{\partial}{\partial u^k}$
$=\left(X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\right)\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial u^k}+X^iY^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}\frac{\partial u^l}{\partial x^i}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u^l}}\frac{\partial}{\partial u^k}-\nabla_{\frac{\partial}{\partial u^k}}\frac{\partial}{\partial u^l}\right)$
$=d\varphi([X,Y])+0=d\varphi([X,Y])$
$\blacksquare$