正规方程求解特征参数的推导过程

多变量线性回归代价函数为：
$j(\theta_0,\theta_1, \theta_2 ... \theta_n) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h(x^{(i)}) - y^{i})^{2}$
其中：
$h(x) = \theta^TX = \theta_0x_0 + \theta_1x_1 ... +\theta_nx_n$
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数：
$\frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta_j) = 0$

设有m个训练实例，每个实例有n个特征，则训练实例集为：
$\begin{equation} X = \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right] \end{equation}$

其中
$x_{j}^{(i)}$
表示第i个实例第j个特征。

特征参数为：
$\theta = [ \theta_0,\theta_1,\theta_2 ... \theta_n ]^{T}$
输出变量为：
$j(\theta_0,\theta_1, \theta_2 ... \theta_n) = \frac{1}{2m}(X \times \theta - Y)^T(X \times \theta - Y) = \frac{1}{2m}(Y^TY-Y^TX\theta - \theta^TX^TY + \theta^TX^TX\theta)$
进行求导，等价于如下的形式：
$\frac{1}{2m}(\frac{\partial{Y^TY}}{\partial{\theta}}-\frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta}} - \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta}} + \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta}})$
其中第一项：
$\frac{\partial{Y^TY}}{\partial{\theta}} = 0$
其中第二项：
$Y^TX\theta = [y^1 + y^2 ... + y^m] \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right][ \theta_0,\theta_1,\theta_2 ... \theta_n ]^{T} = (x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m)\theta_1 + (x_1^1y^1 + ... + x_1^my^m)\theta_0 + ... + (x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m)\theta_n$
该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式：
故有
$\frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{Y^TX\theta}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m\\ ...\\ x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m \end{matrix} \right] = X^TY$
第三项
$\theta^TX^TY = [\theta^0 + \theta^1 ... + \theta^n] \left[ \begin{matrix} x_0^{(1)}&...&x_n^{(1)}&\\ ...&...&...&\\ x_0^{(m)}&...&x_n^{(m)}& \end{matrix} \right][ y_1,y_2 ... y_m ]^{T} = (x_0^{(1)}\theta_0 + ... + x_n^{(1)}\theta_n)y^{1} + ... +(x_0^{(m)}\theta_0 + ... + x_n^{(m)}\theta_n)y^{m}$
该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式：
因此
$\frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{\theta^TX^TY}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_0^1y^1 + ... + x_0^my^m\\ ...\\ x_n^1y^1 + ... + x_n^my^m \end{matrix} \right] = X^TY$

第四项：

$\theta^TX^TX\theta = (X^TX)(\theta_0^2 +\theta_1^2 ... + \theta_n^2)$
为标量，可看成一个常数。该矩阵求导为分母布局下的标量/向量形式,因而(二次型结合矩阵求导):

$\frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta}} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta_0}}\\ ...\\ \frac{\partial{\theta^TX^TX\theta}}{\partial{\theta_n}} \end{matrix} \right] = 2(X^TX)\left[ \begin{matrix} \theta_0\\ ...\\ \theta_n \end{matrix} \right] = 2X^TX\theta$
综上，正规方程为：
$\frac{1}{2m}(-2X^TY + 2X^TX\theta) = 0$
最终可得特征参数的表示：
$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$

原文链接

原文

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,240评论 6赞 498
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,328评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,182评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,121评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,135评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,093评论 1赞 295
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,013评论 3赞 417
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,854评论 0赞 273
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,295评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,513评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,678评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,398评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,989评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,636评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,801评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,657评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,558评论 2赞 352

正规方程求解特征参数的推导过程

原文链接

推荐阅读更多精彩内容