1994-math-one-01

\lim _{x \rightarrow 0} \cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)= ?
解：\frac{1}{6}.原式变形后为0比0型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连续应用两次洛
必达法则,有
原式=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x(x-\sin x)}{x \sin ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \cos x \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}}
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{3 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{6 x}=\frac{1}{6}

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