数列之目：2022年新高考题18

2022年新高考题18

已知数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 是等比数列，且 $8a_3=a_6,\;a_2+a_5=36$ .

（1）求数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项公式;

（2）设 $b_n=\dfrac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}$ , 求数列 $\lbrace b_n \rbrace$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ，并证明： $T_n \lt \dfrac{1}{3}$

【解答问题1】

$a_n=a_1 q^{n-1}$

$8a_3=a_6 \Rightarrow\; q^3=8 \Rightarrow q=2;$

$a_2+a_5=36 \Rightarrow a_1(2^1+2^4)=36 \Rightarrow\; a_1=2$

所以，数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项公式为： $a_n=2^n$

【解答问题2】

根据前节结论， $a_n=2^n$

$a_n=a_{n+1}-a_n= (a_{n+1}+1)- (a_n+1)$

$\dfrac{1} {a_n+1} - \dfrac{1}{a_{n+1}+1} = \dfrac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}$

$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$

$= (\dfrac{1}{a_1+1}-\dfrac{1}{a_{2}+1}) + (\dfrac{1}{a_2+1}-\dfrac{1}{a_{3}+1}) +\cdots+ (\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}+1})$

$=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{a_{n+1}+1}$

$=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{2^{n+1}+1}$

∵ $\dfrac{1}{2^{n+1}+1} \gt 0$

∴ $T_n \lt \dfrac{1}{3}$

证明完毕.

【提炼与提高】

在最近十年的高考题中，本题难度可以算是入门级，掌握裂项方法即可解答。本题可以作为裂项方法的配套习题使用。

数列是高中数学的核心内容之一。在此前的高考数学大题中，数列与三角大题常常交替出现。在2022年的高考数学中，数列和三角大题同时出现，估计以后会沿用这种安排。

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