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逻辑回归损失函数不使用MSE的原因

逻辑回归损失函数不使用MSE的原因

原因总结：

MSE会有梯度消失现象
MSE的导数非凸函数，求解最优解困难

公式证明

1. 梯度消失公式证明

令 $f(x)=\theta x+b$ ，记为 $s$ 。
$h(s)=\frac{1}{1+e^{-s}} \tag{1.1}$
$h'(s) = h(s) (1- h(s))\tag{1.2}$
$J(\theta) = \sum_{i=1}^{m}(y_i - h_i(s_i) )^2 \tag{1.3}$
$\begin{equation}\begin{split} J'(\theta) &= \sum_{i=1}^{m}(y_i - h_i(s_i) )^2 \\ &=\sum_{i=1}^{m}2(y_i - h_i(s_i) )*(-h'(s))*(\frac {\partial f(\theta)} {\partial \theta}) \\ &= -2 \sum_{i=1}^{m}(y_i - h_i(s_i) )*h(s_i) *(1- h(s_i)))*x_i \\ \end{split}\end{equation} \tag{1.4}$
只关注其中单项的公式，并简化可得：
$L'(\theta) = (y-h)h(1-h)x \tag{1.5}$
可见，当h趋近于0时或者趋近于1时，该Loss的导数都会趋近为0，从而造成梯度消失现象。

2. 非凸函数公式证明

关注 $L'(\theta)$ 其二阶导数，可以得出其二阶导数矩阵即Hessian矩阵不是正定矩阵。该导数是非凸函数，不是凸函数，难以优化。
$\begin{equation}\begin{split} L''(\theta) &= \frac {\partial (y-h)(h-h^2)x} {\partial \theta} \\ &= x \frac {\partial (yh- yh^2 -h^2 + h^3)} {\partial \theta} \\ &= x (y- 2yh -2h +3h^2) \frac{\partial h} {\partial \theta} \\ &= x^2 (y- 2yh -2h +3h^2)h(1-h) \\ \end{split}\end{equation} \tag{1.6}$
$h(1-h)$ 在 $(0,1)$ 内都大于0，假设 $y=0$ 时， $L''(\theta)$ 则由 $3h^2 - 2h$ 决定。
因为 $3h^2 - 2h$ 的根为 $0, \frac {2}{3}$ ,即其在 $[0,1]$ 范围内有正有负。从而得出 $L''(\theta)$ 有正有负，即为非凸函数。

附录： Hessian矩阵 $H$ 性质

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最后编辑于：2020.03.23 00:12:48

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