泊松过程学习笔记

啊，公式虐我千百遍，我视公式如初恋啊。

泊松过程实际上是一个计数过程，计一段时间发生事件的次数，比如一段时间内有多少公交到达，一段时间内进入商店的人数等等，这些都是典型的计数过程。不过在说泊松过程之前，先要介绍一个指数分布。

指数分布

定义

一个连续随机变量X服从参数 $\lambda$ $(\lambda>0)$ 的指数分布，它的概率密度函数（PDF）为

$f(x)=\begin{cases} \lambda\exp(-\lambda t) &\quad t\geq 0\\0 &\quad t<0 \end{cases}$

等价的，可以得到概率分布函数（CDF）

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)dx=\begin{cases}1-\exp(-\lambda t) &\quad t\geq 0\\0 &\quad t<0\end{cases}$

它的均值可以通过分部积分计算得到

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx =\frac{1}{\lambda}$

在计算方差之前引入指数分布的力矩生成函数

$\phi (t)=E[\exp (xt)]=\int_{0}^{\infty} \exp(xt)\lambda\exp(-\lambda x)dx\\=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad for(t</p><p>引入该函数可以对其进行求导就能得到各阶矩的值了，比如</p><p><img class=$

所以指数分布的方差为

$Var(X)=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1}{\lambda^2}$

指数分布的特性 $N(t)$

如果一个随机变量是无记忆的，那么它满足

$P(X>s+t\vert X>t)=P(X>s) \quad s,t\geq 0$

这怎么理解呢？比如说X是一种工具的使用时间，左边项表示X在使用了t时间后再使用大于s时间的概率分布，而右边表示只使用大于s时间的概率分布，两者概率相等就说明X在使用t时间之后对结果无影响，已经忘记了已经使用过t时间了。

上式也可以表示为

$\frac{P(X>t+s,X>t)}{P(X>t)}=P(X>s)$ 或者 $P(X>t+s)=P(X>t)P(X>s)$

对于X是指数分布 $\exp(-\lambda (t+s))=\exp(-\lambda t)\exp(-\lambda s)$ 满足上式

泊松过程

计数过程

一个随机过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 说的是一个计数过程， $N(t)$ 表示了在时间t发生的时间总次数。一些计数过程的例子如下所示：

（1）让 $N(t)$ 等于进入商店的人数，这涉及的事件是一个人在时刻t进入商店；

（2）事件的发生表示是小孩的出生， $N(t)$ 表示在时刻t出生的总人数；

从以上的定义可以得到，计数过程 $N(t)$ 必须满足：

（i） $N(t)\geq 0$

（ii） $N(t)$ 是一个整数值

（iii）如果时刻 $s<t$ ，那么 $N(s)\leq N(t)$

（iv）对于 $s<t$ ， $N(t)-N(s)$ 等于事件在时间间隔 $(s,t]$ 间发生的次数

以上说明在不相交的时间间隔内，事件发生的数量是独立的，这说明计数过程是一个独立增量的过程。比如从时刻0到10发生的次数与10到15发生的次数是独立的。独立增量对于例子（a）可能是合理的，但是对于（b）来说如果 $N(t)$ 非常大，代表着这世界上有很多人，那么会表示之后的时间出生的人数也会增多，因为人的基数大嘛，所以这很显然独立增量过程在这个例子中并不成立。

计数过程也被称为是稳定增量的过程，稳定增量说明在任意时间间隔内事件发生数量的分布只与时间间隔的长度有关。换句话说，时间间隔 $(s,s+t]$ 内事件发生的次数在任意的时刻s分布都是一样的。这一条在现实生活中也是不成立的，对于例子（a）来说，如果是普通时间还好，如果到了高峰时期，比如12点，进商店的人数明显增多，所以稳定增量也是一种理想的情况。

虽说如此，但是研究这个还是有必要的，许多问题的解决都是建立在假设理想的情况下的嘛。

泊松过程

定义

介绍了计数过程，就可以引出泊松过程了，它是计数过程中的一种。泊松过程满足以下条件：

（1） $N(0)=0$

（2） $N(t)$ 是独立增量过程

（3） $N(t)$ 是平稳增量过程

（4）具有稀疏性

通过引用母函数 $G(z,t)=E(z^{N(t)})=\sum_{k=0}^\infty z^kP(N(t)=k)$ 来进行推导，得到 $N(t)$ 发生次数的概率（推导过程省略）：

$P(N(t)=k)=\exp(-\lambda t)\sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda t)^k}{k!}$

这恰是泊松过程的表达式，同时母函数的值为：

$G(z,t)=\exp(\lambda t(z-1))=\exp(-\lambda t)\sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda t)^k}{k!} z^k$

泊松过程的均值和方差均为 $\lambda t$

性质

1、非宽平稳性

自相关函数为：

$R_N(s,t)=E(N(s)N(t))=E(N(s)(N(t)-N(s)+N(s))\\E((N(s)-N(0)(N(t)-N(s))+E(N(s)^2)\\=\lambda s\lambda(t-s)+\lambda s+\lambda^2s^2\\=\lambda^2st+ \lambda s \quad \forall t>s$

可以看出泊松过程并不是一个平稳过程。

2、事件间隔的分布

设 $T_1$ 表示第一次事件出现的时间， $T_n$ 表示时间第n-1次到第n次逝去的时间，设时间间隔序列 $\{T_n, n=1,2,...,n\}$ 。比如 $T_1=5$ 和 $T_{2}=10$ 表示第一次时间发生的时间是5，第二次事件发生的时刻为15。设 $\{T_1>t\}$ 表示在时间间隔 $(0,t]$ 内没有事件发生，则概率表示为：

$P(T_1>t)=P(N(t)=0)=\frac{(\lambda t)^0}{0!}\exp(-\lambda t)=\exp(-\lambda t) \quad t\geq 0$

假设 $T_1$ 发生的时刻为s，则对于 $T_2$ 发生的概率表示为：

$P(T_2>t|T_1=s)=P(0\,events \,in \,(s,s+t]|T_1=s)=P(0\,events \,in \,(s,s+t])=\exp(-\lambda t)$

可以不严谨的得出两次事件发生的时间间隔服从指数分布。

3、等待时间的概率分布

假设 $S_n=T_1+T_2+\dots+T_n$ 表示第n次事件发生的时刻，如果第n次事件发生的时刻比t小，那么可以得到在时间t发生的事件次数肯定比n多，所以可以有以下概率分布：

$F_{S_n}(t)=P(S_n\leq t)=P(N(t)\geq n)=\sum_{k=n}^\infty \frac{(\lambda t)^k}{k!}\exp(-\lambda t)$

将其对t进行求导就可得到 $S_n$ 概率密度函数

$f_{S_n}(t)=\frac{dF_{S_n}(t)}{dt} =\sum_{k=n}^\infty \lambda\frac{(\lambda t )^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda t) -\lambda\sum_{k=n}^\infty \frac{(\lambda t)^k}{k!}\exp(-\lambda t)\\ =\lambda \exp(-\lambda t)\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}$

这是一个 $\Gamma$ 分布，它的形式如下：

$\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1}\exp(-t)dt$

对其进行分部积分可以得到它是阶乘的表示

$\Gamma (n)=(n-1)!$

总结

以上的都是泊松过程的基础，许多拓展都是通过上面做出的，我也写不动了，有空再写。

参考资料

《随机过程及其应用》（第二版）陆大絟张颢

最后编辑于：2019.05.31 19:31:25

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