指数有关的讲解

写这一篇内容的原因在于看到班里有许多同学不清楚这些内容,所以在这里写了这个希望可以帮助大家

幂函数

一般情况下,当我们遇到 $\sqrt[b]{a}\cdot a^c\cdot (\frac{1}{a})^d$ 之类的式子,一定会想:该怎么样把它们化成一项呢?

于是就诞生了幂函数

幂函数是形如 $f(x)=x^a$ 的式子,在实数范围内的任意a都有对应的函数,这与我们之前所了解的在正整数范围内定义的阉割版有所不同,那不同以后是什么样子呢?让我们分类讨论:

a为正整数

可以看到图像和所学的正常状态一样

a为负数

它的图像为

这是.....反比例函数?
没错,这就是反比例函数!

于是可以想到 $x^{-a}=\frac{1}{x^a}$
那么就是说如果遇到 $x^a\cdot (\frac{1}{x})^b$ 也就可以直接化为一项 $x^{a-b}$ 了

a为分数

长得就像把 $x^a$ 倒过来一样,事实上它补全以后确实跟 $x^a$ 关于 $y=x$ 轴对称

理所当然地就可以想到 $x^a$ 的逆运算 $\sqrt[a]{x}$

所以连起来就是
$x^{\frac{1}{a}} =\sqrt[a]{x}$
所以有 $\sqrt[a]{x}\cdot x^b$ 时化成 $x^{\frac{1}{a}+b}$ 就好很多了

注意:幂函数图像只有在a<0时单减,其他时候单增

以上,我们讨论了在实数范围内所有a对应的幂函数形式,在这基础上进行公式的化简就简单很多了,~~在计算时只要留心就能会~~ 但依然不会计算,那如何计算呢?

各位在刚刚看过上面的部分后应该已经有了一些头绪,这里列出计算规则以供证实各位的理解:

同底数的幂的积(商)

因为
$x^a=x\cdot x\cdot x\cdots x$

$x^b=x\cdot x\cdot x\cdots x$

所以
$x^a\cdot x^b=(x\cdot x\cdot x\cdots x)\cdot(x\cdot x\cdot x\cdots x)$
综上
$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$
同时
$\frac{x^a}{x^b}=x^a\cdot \frac{1}{x^b}=x^a\cdot x^{-b}=x^{a-b}$

幂的幂

~~听起来挺拗口的,不过想来也不太难~~
$(x^a)^b=x^a\cdot x^a\cdot x^a\cdots x^a=x^{a+a+a+\cdots +a}=x^{ab}$
优秀的式子,简单的推导

注意!
$(x^a)^b\neq x^{a^b}$
因为
$x^{ab}=x^{a+a+a+\cdots +a}$

$x^{a^b}=x^{a\cdot a\cdot a\cdots a}$

这下诸位应该可以了解幂函数的操作了吧 ~~要还是不会我砍了你~~

指数函数

在学习了幂函数后,我们感觉好像少了些什么,"x"是可以充当任何成分的符号,那么既然它可以充当底数,那么指数应该也可以,就像 $f(x)=a^x$ 一样 ~~let us think it again and again!~~

第一步理所应当地是看一看取值范围是什么

a=1时 $f(x)=1^x=1$ .也就是说,就是一条水平的直线, ~~这东西讨论它干嘛~~

a $\leq$ 0时 $f(x)=a^x$ 看似没问题但问题大了去,先不论虚数的出现,光是因为x奇偶性的变化导致图像在x轴上下反复横跳就已经很烦人了,所以PASS.

综上,取值范围就是 $(a>0,a\neq1)$

在这个范围内,让我们看看特殊值:

x=0时
$f(x)=a^0=1$
也就是说对于任意a,它们都过(0,1)点

根据这些信息就可以优雅地画出图像

可以看到 " $a^x$ 与 $\frac{1}{a^x}$ 关于y轴对称,f(x)取不到0及以下的值" 的特点

特别地, $a^x$ 在a>1时单增,在0<a<1时单减

对数函数

记不记得我们有提到过 $f(x)=x^a$ 和它的反函数 $f(x)=\pm\sqrt[a]{x}$ 关于 $f(x)=x$ 轴对称

那么指数函数有没有这样一个反函数呢?让我们想一想 ~~you think too much!~~

反函数就相当于把原函数的x和y对调得到的函数

那么要如何表示 $x=a^{f(x)}$ 呢?

自己造一个符号!

于是有了 $f(x)=\log_a x$ 用来表示这个奇怪的反函数,甚至我们还可以给它起个名叫对数函数

这个式子也可以理解成 "看看a的多少次方是x"

它的图像也不必多说,把指数函数倒着看即可

一般情况下用10做底数的比较常见,为了书写方便,把"以10为底x的对数"写作 $\ln x$

在虚数和复数领域会用到e(一个由级数得到的无理数)做底,于是把"以e为底x的对数"写作 $\lg x$

但光掌握定义还不够,正如幂函数那里所提到的那样,不会计算是不行的

对数的计算和幂函数完全相反,这里列表以供对照

运算	幂函数	对数函数
加&乘	$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$	$\log_a b+log_a c=\log_a{b\cdot c}$
减&除	$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$	$\log_a b-log_a c=\log_a{\frac{b}{c}}$
乘&乘方	$(x^a)^b=x^{ab}$	$\log_a b^c=c\log_a b$ 和 $\log_{a^c} b=\frac{1}{c}\log_a b$