连续时间信号与系统的频域分析（3.1）周期信号分解为傅里叶级数

3.1周期信号分解为傅里叶级数

1.周期信号

周期信号满足 $f（t）=f(t-nT)$ ，n为整数

周期的倒数称为频率，即 $f_{0}^=\frac{1}{T}$ ，而 $\omega _{0}=\frac{2\pi }{T}$ 称为该信号的角频率

2.傅里叶级数

周期为 $T$ 的信号 $f（t）$ ，若满足狄利克雷条件，就可以展开为三角形式的傅里叶级数或指数形式的傅里叶级数。

狄利克雷条件是指：

（1）函数在一个周期内绝对可积，即 $\int_{t₁}^{t₁+T} \vert f（t） \vert dt<∞$

（2）在一个周期内函数是有有限个极大值和极小值

（3）在一个周期内，函数只有有限个不连续的点，且在这些不连续的点上，函数是有限值

3.1.1三角形式的傅里叶级数

周期信号三角形式的傅里叶级数

$f(t)=a_{0} +\sum_{n=1}^∞[a_{n}cosn\omega _{0} t+b_{n}sinn\omega _{0} t ]$

$f(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^∞A_{n}cos (n\omega _{0}t+\varphi _{n})$

3.1.2 指数形式的傅里叶级数

周期信号指数形式的傅里叶级数

$f(t)=\sum_{n=-∞}^∞F_{n}e^(jn\omega _{0}t)$

复数Fn称为傅里叶级数的复系数

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