开始之前，我们先做个测试。
假设过年的时候，你爸妈要给你发红包，有两种方式任你选择：
方案A是直接在红包里放一张红色的毛爷爷，拿到的话纯收入100。
方案B是接红包之前让你抛硬币，如果正面朝上就给你两张红色毛爷爷，反面朝上这个红包就充公了，压岁钱就走个过场你啥都没有。
提问，你选择A方案还是B方案呢？
显然，选择A方案的可能更缺乏 钱 安全感，相比于后者高一倍的收入，更喜欢稳稳妥妥拿到票子的感觉；选择B方案的就更愿意去冒险，百分之五十的概率，能拿到200就不将就100。当然，可能还有的人选择AB的结果都是一样的——“妈妈先替你保管，等你长大了再还给你好吗？”
很不幸，我小时候就是第三种。
虽然上面只是举个栗子，但同样的反映出来，在金融市场中，总是存在一部分人为了高收益偏好冒险，而也有一部分人更倾向于风险的规避。即使从理性的角度出发，两种方案的期望值都是100块。
对于这种风险偏好不同的现象，单纯的拿期望值进行衡量已经失效了，而是用预期效用理论来描述。
为了方便，我们可以把人对于拥有事物的满意度用一个
来表达。按照上面发红包的例子，直接得到100块的效用就是
，通过抛硬币来决定拿多少的效用就是
。
对于选择A的人来说，必然是有，直接拿100的满意度更高；
相反，对于B而言，必然是，后者满意度更高。
我们称之为预期效用值。A与B代表的两类不同偏好的人群，这两种偏好可以用两个不同形态的函数图形表示出来：
其实从理论上来说，还真的有第三种选择，即不看重不确定性，只看重收入的结果。这类人称为风险中性，左右两边的效用值相等。
方案A与方案B在市场上可以说是不理性的，他们的选择与理性选择之间会产生或正或负的差额，这样的差额就叫做风险溢价。
现在仔细想想，金融市场上的投资者，这三类人的比例是平均的吗？如果是，那风险偏好和风险规避者之间的选择能够相互抵消，市场就能恢复到理性而有效的状态。
但事实上，大多数投资者进行决策的时候，期望的都是在方差最小的情况下获得最大的收益。他们是风险厌恶型选手。
因此，市场上普遍适用的函数为：
在这样的假定体系基础之上，可以进一步的衍生出它的特性：
1、优势性：如果期望A至少在一个方面优于期望B，那么A就优于B
2、恒定性：各个期望的优先顺序不依赖于它们的描述方式
3、传递性：若A>B,B>C,则A>C
4、可消性：不管做出什么样的选择，产生的都是同一个结果
这4个特性看起来是对预期效用的延伸，却在后来成了它的打脸专用工具。
是的，有人做实验做着做着，就发现bug了。
预期效用理论的失效
预期效用理论在现实失效的例子数不胜数。比较著名的就是“阿莱悖论”、“同比率效应”、“反射效应”等。
说起来好像很抽象的样纸，我们还是回到过年发红包那个事好了。
依然假设你爸妈给你发红包，两个方案供你选择。但是你麻麻觉得之前的操作太普通了体现不出水平，于是改变了方案的条件：
A方案——还是最直接的100包进红包，拿了走人。
B方案——嘿嘿，拿红包之前摇个骰子。如果出现的数字是是5或者6，你可以得到101块；如果数字在5以下，你就还是那100块；如果骰子立起来了，那你就什么都没有（假设你们家的骰子一百次能有一次是立起来的）。
我不知道你们怎么选哈，反正如果是我，我才不愿意为了1块钱还去拼那近三分之一的运气，留着微博抽奖可能心里还舒服些。
是的，人家经济学家做出来的实验结果显示，大部分人和我的想法一样。
然后，你那站在一边的老爹又开始作妖，觉得你麻麻太便宜你了，还要改条件——
A'方案：摇骰子，红包是100，如果出现的是5或者6，或者骰子立起来，那红包拿走，否则，红包也没收。
B'方案：还是摇骰子，红包101，如果出现5或者6，红包拿走，否则也没收。
你一想吧，A'方案看起来好像可能性大一丢丢，可是跟B'比起来真的不算什么，后者还多一块钱，当然选B'!
可是你有没有想过，在你麻麻给你的选择里面，那100的概率是1，方案B里面，100次有一次立起来表示0.01的概率，摇到5或者6的概率是0.33，其他数字的概率是0.66。选择A，按照预期效用理论有：
通过移项得到：
但是在你老爹给的方案里面，以同样的概率算，你选择的是B'，说明：
结果出现了两个完全相反的结论。这就是所谓的“阿莱悖论”，它违反了之前的优势性和恒定性，在相同的本质和不同的描述下，大众选择的结果产生了差异。
同比率效应
同比率效应指的是，如果两种方案发生的概率同比例的减少，会得到相反的结论。例子很好举，如果A方案是百分之10的可能性拿到100元，B方案是百分之5的可能性拿到200元，虽然AB发生的概率比还是2:1，但是大部分人的选择会从A转为B。
反射效应
目前为止，我们所假想的情况都是正收益的。但是，过年收红包这种好事也就只有小孩才能享受。现在的我们，可能更多的是考虑怎么给小辈红包。
一样的情况，站在给红包这一方，情况就不一样了。
A方案——直接给100块红包，收益-100，概率为1。（-100,1）
B方案——摇骰子，数字是5或者6，给101；数字在5以下，给100块；骰子立起来，你不用给。（-101，0.33；-100，0.66；0,0.01）
大部分人选择B。
A'方案——摇骰子，数字是5或6，或立起来，给100，否则，不用给。（-100，0.34；0，0.66）
B'方案——摇骰子，数字是5或6，给101，否则，不用给。（-101,0.33；0,0.67）
大部分人选择A‘。
不一样的结果说明，收益范围内的风险厌恶伴随着损失范围内的风险寻求；确定性增加了对损失的厌恶和对收益的偏爱。
孤立效应
当个人面对在不同前景的选项中进行选择的问题时，他们会忽视所有前景所共有的部分，孤立效应会导致当一个前景的描述方法会改变个人决策者决策的变化。
听起来很抽象对不对，没关系，我们还是从给红包开始。
比如说，这个时候你长大了，有自己工作了。回家过年，你爸觉得，你已经是一个成年人，不需要收红包了，而你的麻麻心疼你，觉得再大还是自己的孩子，还是想给压岁钱。两方争执不下，于是商量了个对策：
你爸说，我投硬币，如果两次都是正面朝上（0.25的概率），那就让你妈给你包红包。
你妈说，如果过了你爸那关，我有两个选择给你：
A——你能够确定的拿到3000块；
B——你只有80%的概率能够拿到4000块。
然后你痛哭流涕着说，爸妈饶了我吧我不要了行么……
笑话，几千块的事，还是要试试的。经济学家的实验结果为，大部分人选择A。
那如果爸爸不拦着妈妈给压岁钱，没有抛硬币那回事儿，同时妈妈给的方案变为：
A——25%的机会得到3000块；
B——20%的机会得到4000块。
那么，选择B的人更多，但是两者相差不大。（A:42 B:58）
可是理性的分析可以得到，爸爸设不设门槛，因为妈妈的方案不同，最后两种情况的本质都是一样的。（3000,0.25；4000,0.2）
为什么选择会不一样呢？这是因为，大部分人在第一个情况下做选择的时候，会臆想那3000块是确定的收入，这样的现象被成为“伪确定效应”。
那如果你妈妈直接给你1000块红包，你爸爸给红包让你选择，要么0.5的概率拿1000，要么直接500。大部分人选择后者。
如果你妈妈给你的是2000，你爸扣死了，说要回扣，要么0.5的概率扣1000，要么直接扣500。我相信，你会选择前者的。
虽然妈妈不管是给1000还是2000，用概率计算得到的期望值都是1500，但你会默认把妈妈给的这部分忽略，更在意的是后面的得失。说明，价值或效用的载体是财富的改变而不是财富总值。
通过红包的例子，我们发现，即使运用预期效用理论，也无法解释人们在实际生活中对于投资所做的非理性决策。
预期效用理论的失效使得经济学家们寻找更完善的理论去填补理论的不足。于是，期望理论诞生了。
