总结一下今天的数学复习心得：
特征值与特征向量：
①各行元素和为多少：在后方乘一个全为1的列向量
如各行元素和全为K,则：A(1,1,1)T=k(1,1,1)T
②秩为1的特征向量：
AX=0的解的基础解系有（n-1）个，所以特征值有一个为零，且有n-1重
可以分解为一个列向量乘一个行向量，在A后方乘列向量，结果就等于列向量*行向量*列向量，行向量*列向量为一个常数，该常数就是另一个特征值，列向量就是特征向量。
用这两步就可以解出秩为1的全部特征值和特征向量。
③特征值具有传递性，特征向量具有稳定性。f(A)的特征值为f(λ)，但是特征向量都是一样的（除了A的转置，特征向量一样，特征值不确定；此外A与B相似，两者的特征值一样，但是特征向量不一样）。
AX=0如果有非零解，那么A就有0作为特征值，非零解x就是特征向量。同时可以得到A的行列式为0，A不可逆。
④A的k次等于零或者等于A都可以得到特征值的一些信息，比如特征值为0或者特征值为1。
⑤相似：P逆AP=B，则A与B相似。
相似的充分条件是：A与B都相似于同一个对角阵（不是必要条件）
相似的必要条件：A和B的特征值、特征方程、行列式和迹、秩都相同。
记忆的时候就记住特征值相同（推出行列式和迹）和秩相同（矩阵乘可逆矩阵秩不变）
⑥相似对角化：
实对称矩阵一定可以相似对角化，普通矩阵需要解出特征值，如果有N个不同的特征值则可以相似对角化，如果没有那么要看k重根是否有k个线性无关的特征向量。
相似对角化：解出A的特征值和特征向量，P就是特征向量按列排列，对角阵上的元素就是特征值，注意一一对应。
如果A是实对称矩阵，还可以正交相似对角化，这时解出特征向量以后需要正交化和单位化。正交化可以使用叉乘的方法：
属于不同特征值的特征向量一定正交，如果解出n个不同的特征值对应的特征向量可以直接单位化，如果有重根，那么（考试过程中一般是3阶矩阵）
叉乘法：三个向量a1,a2,a3，a1和a2属于一个特征值，a3属于另一个，那么a3一定和a1\a2正交，固定a1和a3,写一个三阶矩阵，第一行是ijk，第二行和第三行将a1和a3按行排列，然后按照第一行展开（计算代数余子式），解出ijk前面的系数（代数余子式），组成一个向量，这个向量就是与a1,a3正交的向量。
然后单位化，得到的就是正交矩阵Q。
⑦如果A与B相似，那么f(A)与f(B)相似，且AB与BA相似
相似对角化应用：
——证明A与B相似，这需要用到AB相似的充分条件，证明A与一个对角阵相似，证明B与同一个对角阵相似，P1逆AP1=对角阵，P2逆BP2=对角阵，则B=P2对角阵P2逆=P2P1逆AP1P2逆，则令 P=P1P2逆，就可以得到P逆AP=B
——求A的n次：A相似于对角阵，则A的n次相似于对角阵的n次，且P相同，就可以通过对A相似对角化求得A的n次。
⑧实对称矩阵的秩与特征向量息息相关。
比如某一个实对称矩阵是n阶，但是秩为3，则它的对角阵的秩也为3，那么该实对称矩阵就有n-3个特征值为0。
对于特征值和特征向量与方程的解的综合性问题，也可以从秩入手考虑。比如今天做的一道题，有一个实对称矩阵A，求出A的特征值，则A*-2E的特征值和与之相对的相似的对角阵也就求出来了，然后就可以通过秩判断方程基础解系个数为1。
【注】：求特征向量要写出全部的特征向量，如果只有一个线性无关的，则前面带的系数k要写：k不为零，如果是两个，则写k1和k2不全为零。如果是方程组的解，则k为任意实数。
如果给出几个列向量组线性无关，可以考虑将它们按列排列构成可逆矩阵P，A左乘可逆矩阵，然后右边凑出P*B的形式，则A与B相似，就可以通过B的特征值得到A的特征值了。
