📚 德·摩根定律（De Morgan's Laws）在布尔判定中的介绍

德·摩根定律是布尔代数和逻辑学中的两条基本定律，由19世纪英国数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）提出。它描述了逻辑与（AND）、逻辑或（OR） 和 逻辑非（NOT） 这三个基本运算之间的关系，特别是在处理取反（否定） 复合条件时非常有用。

在命题逻辑中，德摩根定律表达了否定运算（¬）与合取（∧，即“与”）以及析取（∨，即“或”）之间的等价关系。设 P 和 Q 为两个命题，则德摩根定律可表述为：

¬(P∧Q)≡(¬P)∨(¬Q)（第一定律）
含义：对 P 和 Q 的合取取否定，等价于分别对 P 和 Q 取否定后进行析取。即“并非两者都真”等价于“至少有一个不真”。

¬(P∨Q)≡(¬P)∧(¬Q)（第二定律）
含义：对 P 和 Q的析取取否定，等价于分别对 P和 Q 取否定后进行合取。即“并非至少一个真”等价于“两者都不真”。

运用到程序中就是
!(P && Q) 等价于 !P || !Q
!(P || Q) 等价于 !P && !Q

🔣 两条核心定律

设 P 和 Q 是任意两个布尔表达式。

1. 否定一个“与”条件（AND）

!(P && Q) 等价于 !P || !Q

解释：
“并非（P 且 Q）” 为真，当且仅当 P 为假 或 Q 为假（至少有一个不成立）。

例子：

条件：!(下雨 && 带伞)
等价于：!下雨 || !带伞
意思是：不是（下雨并且带了伞），等同于 没下雨 或者 没带伞。

2. 否定一个“或”条件（OR）

!(P || Q) 等价于 !P && !Q

解释：
“并非（P 或 Q）” 为真，当且仅当 P 为假 并且 Q 为假（两者都不成立）。

例子：

条件：!(晴天 || 多云)
等价于：!晴天 && !多云
意思是：不是（晴天或多云），等同于 不是晴天 并且 不是多云（即阴天或下雨）。

🧩 核心思想

德·摩根定律的核心是：

“与”变“或”：当取反一个 AND 条件时，内部的 && 变成 ||，并且每个子条件都要取反。
“或”变“与”：当取反一个 OR 条件时，内部的 || 变成 &&，并且每个子条件都要取反。
括号很重要：复合条件必须用括号括起来，再整体取反，否则逻辑会出错。

✅ 为什么在编程中非常重要？

简化复杂条件：
将嵌套的取反条件转换成更易读、更易理解的形式。

// ❌ 复杂难懂
if (!(user.isAuthenticated && (user.role === 'admin' || user.role === 'moderator'))) {
  // 拒绝访问
}

// ✅ 应用德·摩根定律后
if (!user.isAuthenticated || (user.role !== 'admin' && user.role !== 'moderator')) {
  // 拒绝访问
}

避免逻辑错误：
手动写取反条件时容易出错。使用德·摩根定律可以系统性地转换，保证逻辑正确。
优化代码可读性：
有时取反后的形式更符合人类的直觉。
编译器优化基础：
编译器和解释器内部会使用这些定律来优化布尔表达式的执行效率。

📝 使用口诀（记忆方法）

“与”的反面是“或”：!(P && Q) → !P || !Q
“或”的反面是“与”：!(P || Q) → !P && !Q
拆括号，变符号，各自取反

🌰 实际应用示例

判断一个用户不能登录的条件：

原条件（能登录）：已同意协议 && (邮箱已验证 || 手机已验证)

取反（不能登录）：应用德·摩根定律

!(已同意协议 && (邮箱已验证 || 手机已验证))
// →
!已同意协议 || !(邮箱已验证 || 手机已验证)
// →
!已同意协议 || (!邮箱已验证 && !手机已验证)

📣 总结

德·摩根定律是逻辑推理和编程中的基石工具。掌握它，你就能：

准确地对复杂的布尔条件进行取反。
写出更清晰、更可靠的条件判断语句。
更好地理解程序中的逻辑分支。

记住这两条公式，它们会在你处理 if、while、filter 等任何涉及布尔逻辑的场景中大放异彩！

一个示例

我们来一步步对逻辑表达式 !A || (A && B === 2) 进行取反。

第一步：写出原表达式的否定

原表达式：

!A || (A && B === 2)

对其整体取反：

!( !A || (A && B === 2) )

第二步：应用德·摩根定律（De Morgan's Law）

德·摩根定律之一：

!(P || Q) ≡ !P && !Q

令：

P = !A
Q = (A && B === 2)

应用定律：

!( !A || (A && B === 2) ) ≡ !!A && !(A && B === 2)

简化 !!A 就是 A：

A && !(A && B === 2)

第三步：再次应用德·摩根定律

对 !(A && B === 2) 使用德·摩根定律：

!(A && B === 2) ≡ !A || !(B === 2)

即：

!A || B !== 2

代入前面的表达式：

A && (!A || B !== 2)

第四步：化简逻辑表达式

现在我们有：

A && (!A || B !== 2)

使用分配律展开：

(A && !A) || (A && B !== 2)

注意：A && !A 是 恒假（false）

所以：

false || (A && B !== 2)

等价于：

A && B !== 2

✅ 最终结果

!A || (A && B === 2) 的取反是：

A && B !== 2

验证（可选参考）

我们可以用真值表验证关键情况：

| A | B | !A | B===2 | A&&B===2 | !A || (A&&B===2) | 取反 | A && B!==2 |
|-------|-----|----|-------|----------|------------------|------|-----------|
| true | 2 | F | T | T | T | F | F |
| true | 3 | F | F | F | F | T | T |
| false | 2 | T | T | F | T | F | F |
| false | 3 | T | F | F | T | F | F |

可以看到，只有当 A 为真且 B !== 2 时，原表达式为假，其取反为真。完全匹配 A && B !== 2。

答案：