摄像机投影模型

摄像机通过成像透镜将三维场景投影到摄像机的二维像平面上，这个投影用成像变换描述，即摄像机成像模型。

四个坐标系

图像像素坐标系 $（u,v）$
图像物理坐标系 $（X,Y）$
摄像机坐标系 $（x,y,z）$
世界坐标系 $（X_W,Y_W,Z_W）$

摄像机投影模型

三对转化关系

图像像素坐标系与图像物理坐标系
$u = X / dx + u_0$
$v = Y / dy + v_0$
其中， $dx，dy$ 表示单个像素在 $X,Y$ 轴方向上的物理尺寸，单位为 $mm/像素$ ， $O'$ 在 $(u,v)$ 坐标系中的为 $u_0,v_0$ 。
齐次方程的矩阵形式为：
$\left| \begin{matrix} u \\ v \\ 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1/dx & 0 & u_0 \\ 0 & 1/dy & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} X \\ Y \\ 1 \end{matrix} \right| （1）$
摄像机坐标系与世界坐标系
旋转矩阵 $R$ 与平移矢量 $t$ 描述二者之间关系
齐次坐标转化矩阵：
$\left| \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{matrix} \right| （2）$
图像物理坐标系与摄像机坐标系
针孔成像模型中由相似三角形得到：
$s\left| \begin{matrix} X \\ Y \\ 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0\\ 0 & f & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix} \right| （3）$

投影公式

由公式 $（1）（2）（3）$ 得到图像像素坐标系和世界坐标系转化关系：
$\left| \begin{matrix} u \\ v \\ 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1/dx & 0 & u_0 \\ 0 & 1/dy & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0\\ 0 & f & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{matrix} \right|$
合并得到：
$\left| \begin{matrix} u \\ v \\ 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_x & 0 & u_0 & 0\\ 0 & a_y & v_0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{matrix} \right|(4)$
前一矩阵为内参，后一矩阵为外参。

畸变

实际镜头不是理想的透视成像，带有不同程度的畸变，使得空间点所成的像并不是在线性模型（上文推导的投影公式）所得到的位置 $(X,Y)$ ，而是受到镜头失真影响而偏移的实际像平面坐标 $(X',Y')$ :
$X=X'+dx,Y=Y'+dy$
其中 $dx,dy$ 为非线性畸变，存在径向畸变和切向畸变，一般切向畸变较小，径向畸变的修正量由距图像中心的径向距离的偶次幂多项式模型表示：
$dx=(X'-u_0)(k_1r^2+k_2r^4+...),dy=(Y'-v_0)(k_1r^2+k_2r^4+...)(5)$
其中 $r^2=(X'-u_0)^2+(Y'-v_0)^2$ ，公式 $(4)$ 表示图像边缘处的畸变较大。
线性模型参数 $a_x,a_y,u_0,v_0$ 与非线性畸变参数 $k_1,k_2$ 构成摄像机非线性模型的内参。

最后编辑于：2020.01.16 16:31:02

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