近几年，研究生越来越热门，随着我国研究生招生规模的逐渐扩大，报名参加硕士研究生考试的人数也逐年增加。就目前新闻热点而言，全国硕士研究生报名人数的增长问题也是一热门话题。报考人数与录取人数也存在着极大差异。
本文选用R语言为基础分析语言，选取1995-2020年全国硕士研究生报名人数，拟结合ARIMA模型对未来五年的研究生考试报名人数进行预测。
ARIMA模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析的主要模型之一。主要通过对需要预测的时间序列进行预处理（包括平稳性检验、差分等），模型识别和定阶，验证模型拟合效果，最后根据拟合出的最优模型，对时间序列进行预测。
本文选取的数据如下所示：
数据来源：中国研究生招生考试信息网
首先录入数据，并绘制趋势图。
> library("xlsx") #加载xlsx程序包
>x1<read.xlsx("post.xlsx",1,header=TRUE,as.data.frame=TRUE) #导入excel数据
> x2<-x1[-1]
> x3<-ts(x2,start=1995) #设置横纵坐标轴
> plot(x3) #输出趋势图
图1 1995-2020年全国考研人数趋势图
从上图可以看出，我国研究生报名人数整体呈现出上升的趋势。
在统计学中，如果序列不存在明显的上升或下降趋势，即各个观察值基本在同一固定水平上下波动，则序列属于平稳序列。此时序列中的每一个观察值可以看作是随机且相互独立的，利用历史样本来预测未来时间就有了可能。
由于全国考研人数呈现出明显的上升趋势，所以为非平稳序列，可使用差分的方式，消除序列中的趋势，使波动曲线更加平稳，更准确的对未来数据进行预测。
首先对数据进行一阶差分。
> x3.dif<-diff(x3) #对序列进行一阶差分
> plot(x3.dif) #输出一阶差分趋势图
图2 序列一阶差分趋势图
从上图可以看出，一阶差分后的数据增减趋势较为平稳。但是依据最优化及准确性原则，需要再进行二阶差分处理。
> x3.dif2<-diff(x3,1,2) #对序列进行二阶差分
> plot(x3.dif2) #输出二阶差分趋势图
图3 序列二阶差分趋势图
理论上说，多阶的差分可以更好的剔除序列中的不确定因素，但是差分的同时也会使得原序列损失一定的数据，所以差分的阶数应该适当。二阶差分过后，序列平稳，则开始对ARMIA模型的参数进行选择。
首先绘制一阶差分与二阶差分下的自相关图和偏自相关图。
> acf(x3.dif,lag.max=20) #输出一阶差分自相关图
> pacf(x3.dif,lag.max=20) #输出一阶差分偏自相关图
图4 一阶差分自相关图与偏自相关图
> acf(x3.dif2,lag.max=20) #输出二阶差分自相关图
> acf(x3.dif2,lag.max=20,plot=FALSE) #输出二阶差分自相关系数
> pacf(x3.dif2,lag.max=20) #输出二阶差分偏自相关图
> pacf(x3.dif2,lag.max=20,plot=FALSE) #输出二阶差分偏自相关系数
图5 二阶差分自相关图与偏自相关图
二阶差分后的自相关图与偏自相关图显示没有超过边界值。那么此时选择ARIMA（p，d，q）模型进行预测时，参数根据0，1，2从低阶到高阶选择，根据AIC准则选择最优值模型。
> library(forecast) #加载forecast程序包
> x4<-arima(x3,order=c(1,2,0)) #构建ARIMA（1，2，0）模型
> x4
> x5<-arima(x3,order=c(1,2,1)) #构建ARIMA（1，2，1）模型
> x5
> x6<-arima(x3,order=c(2,2,0)) #构建ARIMA（2，2，0）模型
> x6
> x7<-arima(x3,order=c(2,2,1)) #构建ARIMA（2，2，1）模型
> x7
表2 ARIMA模型拟合结果
最终，根据得到的结果显示，ARIMA（2,2,1）的AIC=175.09最小，则此模型为最优。
之后对残差序列进行白噪声检验。
> Box.test(x7$residual,type="Box-Pierce",lag=5) #白噪声检验
结果显示P值为0.7306，大于0.05，说明时间序列中的有用信息已经被充分提取，模型显著成立，该模型拟合效果良好。
最后运用该模型对全国硕士研究生报名人数及置信区间进行预测，并输出预测图。
> x.fore<-forecast(x7,h=5) #预测未来五年的数据
> plot(x.fore) #输出预测图
图6 2021-2025年全国考研人数预测
> x.fore #输出预测结果
结果显示，未来2021-2025年预测的考研人数分别为389.26万人、436.73万人、484.36万人、532.17万人和580.01万人。
可以看出，考研已经成为更多毕业生和社会人员选择的道路，参加研究生招生考试的人数逐年上升，本科学历逐渐无法满足多数人的学历需求，继续攻读研究生已经成为当代大四毕业生的主流选择，甚至很多已经参加工作多年的社会人士，也会选择继续读研来提升自己在社会上的竞争力。
