向量是什么——线性代数本质（一）

介绍

There is hardly any theory which is more elementary than linear algebra, in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.
— Jean Dieudonne

线性代数在很多领域都有应用

计算机科学
物理
电力工程
机械工程
统计
……

学过线性代数的学生可能都会做以下计算，但他们却不知道为什么要这样计算，它们分别代表的含义是什么？学生们对于线性代数中的几何意义的理解是非常模糊的

matrix multiplication - 矩阵乘法
the Determinant - 行列式
cross products - 交叉乘积
eigenvalues - 特征值

实际上，理解线性代数的几何意义，有助于在你遇到具体问题的时候，知道用什么工具去解决它们，这些工具为什么有效，并且对产生的结果做出解释。而理解线性代数的算术意义，只能够帮你在使用这些工具的时候，完成整个计算过程。所以学习线性代数的层次关系应该是，由底向上：

几何意义 -> 算术意义 -> 应用

于是，面对线性代数问题，人们更应该把计算部分交给计算机来完成，自己则专注于概念和原理部分。

向量是什么

The introduction of numbers as coordinates is an act of violence.
— Hermann Weyl

向量是线性代数基本构成要素的根源。不同的职业对向量有不同的视角：

物理系学生对向量的视角：vectors are arrows pointing in space. What defines a given vector is its length, and the direction it's pointing in.
计算机专业同学的视角: vectors are ordered lists of numbers. 2-dimensional is the fact that the length of that list is 2.

$\left[ \begin{matrix} 2,600 ft^2 \\ \$300,000 \end{matrix} \right]$
数学专业的同学: generalise both of these views （线性代数中所有的课题都是围绕这两种操作进行的）:
1. 两个向量相加
2. 用一个常数和另一个向量相乘

Vector - 在坐标系中的有箭头的线段，它的末尾总在原点上，在2维空间中，向量 $\left[ \begin{matrix} i \\ j \end{matrix} \right]$ 的第 1 个数字 $i$ 是尖端落在 $x$ 轴的长度，第 2 个数字 $j$ 是尖端落在 $y$ 轴的长度，如果落在原点的左边（ $x$ 轴）和下边（ $y$ 轴），则 $i$ 、 $j$ 的值为负数；在 3 维空间中，每个向量有 3 个数（ $i$ 、 $j$ 、 $k$ ）来表示，分别是尖端落在 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴上的长度， $x$ 、 $y$ 、 $z$ 同样是有符号的。

vector 相加的几何意义

向量 $\vec v$ （ $\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$ ）和向量 $\vec w$ （ $\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$ ）相加的示意图如下

保持 $\vec v$ 不动
保持 $\vec w$ 的方向不变，将 $\vec w$ 的末端平行移动到移动到 $\vec v$ 的尖端
从原点到 $\vec w$ 尖端的向量即为 $\vec v$ 和 $\vec w$ 的和

$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{matrix} \right]$

向量和常量乘法的几何意义

用一个常量乘上一个向量，意味着将向量保持在其所在的直线上，对其长度进行拉伸、压缩和反向操作，例如 $2\vec v$ 是将向量 $\vec v$ 的长度拉升为原来的 2 倍， $\frac{1}{3} \vec v$ 是将 $\vec v$ 压缩为原来的 $\frac{1}{3}$ ， $-1.8 \vec v$ 是先对 $\vec v$ 进行反向，再将其长度拉伸为原来的 $1.8$ 倍，这种操作有一个术语来描绘它 —— Scaling；而其中的系数 $2$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $-1.8$ ，被称为 Scalar。
$\left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right] \times 2 = \left[ \begin{matrix} 2x\\ 2y \end{matrix} \right]$