数学教学的核心原则

本文原作：Jamie York

出处：天使在线学院《重新学数学 | Jamie York华德福1-3年级数学视频工作坊》 

笔记整理：陈琳

说明：笔记内容带有整理者自己的理解，如有疑问请参考原视频。尊重原作版权，转载请注明出处。

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核心原则1——三年教学计划

核心原则2——数学不仅仅是技巧，还要发展数学思维

核心原则3——避免套路的解题步骤

核心原则4——符合儿童发展阶段

核心原则5——化困难为成功的动力

核心原则6——带着问题一起工作（学习）

核心原则1——三年教学计划

每个数学主题内容——准备三年学习计划（用三年让学生较好掌握）

例1：代数。7年级——介绍代数（打基础）；8年级——深入代数学习； 9年级——巩固代数学习（9年级才能真正期待学生掌握）

例2：百分数。6年级——带入百分数；7年级——练习百分数；8年级——真正掌握百分数

教师常有的错误期待：刚讲完一个内容——给学生练习、测验——学生就完全掌握，并且忘不了。

“三年计划”——实际上包含了知识休眠的概念。教师介绍完一个内容，构建了基础，然后让知识进入了沉睡期。有人以为：学生永远不应该遗忘任何知识。如果他们忘了，那就糟了。但其实，“遗忘”并不是坏事，事实上，遗忘是学习的一部分。

“三年计划”——第一次接触新知识——知识进入沉睡期被遗忘——知识再现，再深入学习——再次进入休眠——知识第三次再现，真正被掌握（某些主题的学习也许需要超过三次，来回反复几次）

核心原则2——数学≠技巧堆积，还应发展数学思维

发展学生的数学思维是数学教学当中非常重要的一个主题。这点常被忽略。

请回忆，当年我们读书时在数学课上，花在学习技巧上的时间占了多大的比重？大概98%吧？很多知识点，大量的习题，但是真正能发展数学思维的事情，好像没时间去做。因为我们必须专注于学生需要掌握的技巧上。而这点是我质疑的事情之一。作为老师，我们有种印象，我们的任务是教完长长的列表当中所列的知识点。通常情况下，这长串的知识完全令人难以应对。要教完所有的知识，似乎不太可能。对我来说也是同样的感觉，要把这些都教完，让学生全部都能掌握也是天方夜谭。所以当我去看教学目标时，我只是让自己心中有数，而不被这些所束缚。

数学教学真正的目标：教学平衡——50%的时间关注技巧，50%的时间用于帮助发展数学思维的“数学体验”。

核心原则3——避免让学生盲目跟随解题步骤

避免把数学课教成一系列的解题套路。

考试测验中，学生要学会区别出遇到的考题是哪一类的题型，如果教师只是专注于教会学生如何辨认题型好采取相应的解题套路的话，就会丢失数学教学的本质——真正的数学是涉及数学思维的（经常被忽略）。

盲目跟随解题套路的学生并不知道自己在做什么。对大部分人来说，自己在学生时代得到的经验是，数学就是一连串的套路式的解题步骤，作为学生就要把这些套路死记下来，运用它去解决没有意义的问题。从此，很多学生就开始认为，数学是没有意义的。

教师需要避免死板僵化的教学。例如，我们现在想要学生学会做减法，我们当然要教进位和借位，但不是在2年级；可以肯定的是，我们要在3年级教进位借位，而2年级学生需要看着这个式子（横写的减法72-67=）去思考这个式子的意义。这就是2年级需要发展的数学思维：这与发展数感（sense of number）有关。

作为老师，要尝试用不同的方式来教，使得学生对老师所教的解题步骤有所理解。通常情况下，几乎总是有办法的。

核心原则4——符合儿童发展阶段

这是华德福教育独有的关注点：希望教学符合儿童发展阶段。教师要去思考现在带给孩子们的知识，会如何影响他们的发展。

例子：三角形内角之和为180度。教7年级学生肯定和教10年级不同。因为学生处在不同的发展阶段。因此这是一个例子，在儿童的不同年龄，如何以不同的方式去带同一个内容；另外一点，就是何时来教。所以，问题并不在于：多快多早地把知识带给学生？问题在于，从孩子发展的角度来看，如何找到最佳的教育时机，把某个知识主题带给他们。通常会等他们真的准备好，足够成熟到能理解这些。如果真的等到了合适的时机，就算更迟点再教，我发现这些知识对学生来说，更容易学了，花费的教学时间更少了，而学生真的可以有更深入的理解。因此这个知识点对他们来说也更有价值。

核心原则5——化困难为成功

很多家长抱怨，我家孩子数学不好，学习有困难。困难，通常是带着消极含义的，这是可以理解的，因为困难肯定让人不愉快。这就是我要理清的关键事情之一。当好老师最重要的事情之一——教会学生如何面对困难、克服困难。

数学课重要的不是教学内容与材料，重要的是：通过学数学，学习到人生的道理。如果教师真能帮助学生将困难转化为成功，才是真正的有所作为。

当有家长来找我，说自己的孩子数学学习有困难时，我就喜欢对他们这样说：他们现在有可能走向最大的成功，让我们来面对这个困难吧。因为如果你学习了一整年的数学，却从未碰见任何困难，对你而言，这一年过的不错，你学到了一些知识，这也很好，可能学得很开心，可能发展了数学思维，这些都不错，但是如果在此过程中你遇到了困难，而你克服了这个困难，从而感受到成功，这就更好，因为这是真正意义上的成功。这是很难的，但这是我们作为教师的任务。

我希望：我班上的每一个学生，都要遇到某种程度的困难，有时我担心我教的东西对我的学生而言，一切都太过容易，然后我会特意找些困难，给他们一些挑战。所有的学生都需要挑战。教师需要给所有的学生以挑战。

前提是：教学仍需符合儿童发展阶段，给学生挑战≠让孩子们提前去学后面才学的知识，这种错误方式去挑战学生并非好办法，不会有好的结果。

核心原则6——带着问题一起工作

我在接受师训时学到了这一点，这点有巨大的价值：带着问题工作，这非常有必要。这里我和大家分享一个故事，我曾有过一个学生，我知道她要离开我的班级，来年要去到另一个班上，那个班的老师很优秀，这个女生在数学方面非常有天赋，她算是我班上数学最好的学生，大概是第二年过了一半的时候，我其实不经常见到她，因为她不在我的班上了，但是有一天我遇上她，我问她数学学得怎么样了，她说，哦，我不喜欢数学。我很意外，因为我觉得在这个很棒的老师班上，这孩子应该会很开心，所以我问她，为什么不喜欢数学了，她回答，因为老师总是在她尝试自己回答问题前，就解答了所有的疑问。

有经验的老师，在教了某个主题一段时间之后就知道学生会碰到哪些典型问题，于是老师想要确保学生不会落入这些陷阱中，不想学生在这里或那里磕磕绊绊，所以老师在学生实际遇到问题前，就全部解答了这些问题。

但是如果教师能发展到下一个层次，让学生带着问题工作，在课堂上播下问题的种子，让学生们带着问题思考一段时间，努力想要找到答案，而后在教师带领之下，由学生自己发现答案，这就是完全不一样的做法，这才是教师真正应找到机会去做的事情。

举例，如何笔算6446521的平方根，当这个问题被介绍给7年级的孩子时引起了他们的好奇，他们会觉得，哇，怎么可能做到呢，这毫无头绪啊。而你就要开始为3到4周之后能解答这个谜团而做铺垫。告诉学生，我们在3到4周后就要取得这个很大的数的平方根。你可以把这个巨大的数字写在黑板顶上，它就一直待在那儿，最后我们终于达到目标，能把这个算出来。这么大一个问题，开始无从下手，让这个问题存于他们心中，最终完美解决。

另一个二年级的例子，如何让两个很大的数字相减，7613-2587，然后我们告诉学生，我们明年会学习如何做到！一直到3年级学习进位和借位之前，我们每个月都在提醒他们这个具体的问题。这种做法，和课本的通常做法多么不一样！例如有一次，我想找到课本里关于勾股定理的内容，我去查阅目录，看看勾股定理在哪里。翻到那页，你觉得你会看到什么？你会看到公式，公式后面跟着一个例子，告诉你如何利用勾股定理解决三角形问题。如此快速，简单，它并非来自于一个问题，这位问题并没有存活于读者心中。作为读者唯一可能产生的问题是，我想知道下一页是什么内容。问题的深度最多如此。而与此相反，真正去发展一个问题，而后答案以一种让学生满载惊奇的方式到来，他们会说，哇，我没想过是这样的。而这样做也有助发展数学思维。

引言：一位华德福教师克雷格.霍尔德雷吉（Graig Holdrege）论文《教我如何思考》：质疑的能力存于思考的深处，当我们真正思考，而非仅仅对他人所言进行模仿时，思考活动就从问题中生发而出，问题是任何思维活动的驱动力，提供了方向，焦点和能量。