惠勒引力论第一章几何动力学概要1.4-1.5

在拇指印大小的一块苹果表面上，几何是 Euclid几何(图1.1；用放大镜看)。在范围有限的空时内，几何是 Lorentz几何。在苹果上，点与点的距离令乎 Euclid定理。在空时中，事件与事件的间隔(「固有距离」，「原时」)满足Lorentz-Minkowski几何中相应的诸定理(框1.3)这些定理要在适当的非常特殊的坐标系中受到经验的检验，这些特殊的坐标系是: Euclid几何中的 Euclid坐标；物理学的局域 Lorentz几何中的 Euclid坐标系自然推广的坐标系(局域 Lorentz坐标系；局域惯性坐标系)。然而，诸定理就其内容而言凌驾于一切坐标系之上。它们涉及间隔或距离。今天与 Euclid时代不同，这些距离，就其定义来说，不再依赖于坐标系。一堆干草中的许多点就是空时，这些点之间的距离就是几何。无论用包含坐标的语言，或不包含坐标的语言加以陈述，它们都并无二致(框1.3)。

框1.3带坐标和不带坐标的局域 Lorentz几何与局域 Euclid几何

1.所谓在拇指印大小的苹果表皮上，几何是 Euclid几何，其含意是什么？

A.无坐标的语言(Euclid):

给定一线段 $\mathscr{AE}$ ，将它延伸同样的距离 $\mathscr{EQ}$ 。令 $\mathscr{B}$ 为 $\mathscr{AQ}$ 外一点，且与 $\mathscr{A}$ ， $\mathscr{Q}$ 等距离，则

$\mathrm { S } _ { \mathscr { AB }} ^ { 2 } = \mathrm { S } _ { \mathscr { AE } } ^ { 2 } + \mathrm { S } _ { \mathscr { EB } } ^ { 2 }$

Pythagoras定理；(以及 Euclid的其它定理)

B.有坐标的语言(Descartes):

从任一点 $\mathscr{A}$ 至另外任一点 $\mathscr{B}$ 在适当的(Euclid的)坐标中给出其距离S为

$S _ { \mathscr{AB} } ^ { 2 } = \left[ x ^ { 1 } ( \mathscr{B} ) - x ^ { 1 } ( \mathscr{A} ) \right] ^ { 2 } + \left[ x ^ { 2 } ( \mathscr{B} ) - x ^ { 2 } ( \mathscr{A} ) \right] ^ { 2 }$

如果能够找到任一坐标系，使得在坐标系中，对拇指印内所有 $\mathscr{A}$ 和 $\mathscr{B}$ 点，上式均成立，则可确信:

(i)该坐标是局城 Euclid的坐标系，

(ii)苹果表面的几何是局域 Euclid的(几何)

II.局域 Lorentz几何

所谓在实际的物理世界中，空时的足够有限区域的几何为 Lorentz几何，其含意是什么？

A.无坐标的语言(Robb，1936):

令 $\mathscr{AZ}$ 为一自由粒子的世界线。令 $\mathscr{B}$ 在此世界线之外的一个事件。令一光线从 $\mathscr{B}$ 出发，在事件 $\mathscr{Q}$ 击中 $\mathscr{AZ}$ ，令另一光线从 $\mathscr{AZ}$ 上稍早些的事件 $\mathscr{P}$ 出发而达到 $\mathscr{B}$ 。则， $\mathscr{A}$ ， $\mathscr{B}$ 两事件的固有距离 $s_{\mathscr{AB}}$ (类空间隔)或原时 $\tau _{\mathscr{AB}}$ (类时间隔)为 $s_{\mathscr{AB}}^2 \equiv - \tau_{\mathscr{AB}}^2 = -\tau_{\mathscr{AP}}\tau_{\mathscr{AQ}}$

在粒子保持静止的局域Lorentz参考系中，用坐标方法可以证明局域Lorentz几何的上述判据：

$\tau_{\mathscr{AB}}^2 = t^2-x^2=(t-x)(t+x) = \tau_{\mathscr{AP}}\tau_{\mathscr{AQ}}$

B．有坐标的语言：

从任一事件 $\mathscr{A}$ 到任一其他邻近事件 $\mathscr{B}$ ，其固有距离 $s_{\mathscr{AB}}$ 或原时 $\tau_{\mathscr{AB}}$ 可用适当的(局域Lorentz)坐标表为：

$\begin{aligned} s_{\mathscr{AB}} ^2 = - \tau _ { \mathscr{AB} } ^ { 2 } = & - {\left[ x ^ { 0 }(\mathscr{B}) - x ^ { 0 }(\mathscr{A}) \right]}^2\\ & + {\left[ x ^ { 1 }(\mathscr{B}) - x ^ { 1 }(\mathscr{A}) \right]}^2\\ & + {\left[ x ^ { 2 }(\mathscr{B}) - x ^ { 2 }(\mathscr{A}) \right]}^2\\ & + {\left[ x ^ { 3 }(\mathscr{B}) - x ^ { 3 }(\mathscr{A}) \right]}^2\end{aligned}$

如果能够找到任一坐标系，使得在其中对所有邻近事件 $\mathscr{A}$ 和 $\mathscr{B}$ 上式都局域成立，则可用确定

(i)该坐标系是局域Lorentz坐标系，

(ii)空时几何为局域Lorentz的(几何)

III.事实的陈述

苹果表面的几何处处是局域Euclid的(几何)。

空时几何处处是局域Lorentz的(几何)。

IV.用现代数语首表述局域几何

A.任意流形的度规:

对苹果表面上每一点，对空时中每一事件，事实上，对任意 Riemann流形」的每一点，都存在着一个称为度规张量g的几何客体。它是一个具有两个输入空位的机器，其间可插入两个矢量:

空位1 空位2

( , )

若将相同矢量u插入两空位，则可得矢量u的长度平方:

$\mathbf{g}(\mathbf{u,u})=\mathbf{u}^2$

若插入两个不同矢量u和v(与其顺序无关！)

人们可得出称为「u和v标积」并记为u · v的数：

$\mathbf{ g(u,v)= g(v, u)= u · v=v · u}$

度规是一种线性的机器：

$\mathbf{g(2u＋3w，v)＝2 g(u，v)＋3 g(w，v)，}$

$\mathbf{g(u，av＋bw)＝a g(u，v)＋b g(u，w)}$

所以，在任意给定的(任意)坐标系中，度规对两个矢量的运算可以用他们的诸分量写成双线性表达式：

$\begin{array} { l } { \mathbf { g } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) = } & { g _ { \boldsymbol { a \beta } } u ^ { \alpha } { v } ^ { \beta } } \\ { } & { (对 \alpha , \beta求和) } \\ { = } & { g _ { 11 } u ^ { 1 } v ^ { 1 } + g _ { 12 } u ^ { 1 } v ^ { 2 } + g _ { 21 } u ^ { 2 } v ^ { 1 } + \cdots } \end{array}$

量 $g_{\alpha \beta } = g_{\beta \alpha }$ ，(在空时中α，β取0至3各值，在苹果表面α，β取1和2)，称为在给定坐标系内的分量。

B.在局域 Lorentz参考系和局域Euclid 参考系中度规的诸分量：

为了把度规与前述局域几何的描述联系起来，引入局域Euclid坐标(在苹果上)或局域Lorentz坐标(在空时中)。令ξ为从 $\mathscr{A}$ 到 $\mathscr{B}$ 的分离矢量，则在局域Euclid的(Lorentz)坐标中其分量为

$\xi ^ { \alpha } = x ^ { \alpha } ( \mathscr{B} ) - x ^ { \alpha } ( \mathscr { A } )$

(见框1.1)。那么， $\mathbf{ u } _ {\mathscr { AB } }$ 的长度平方与从 $\mathscr{A}$ 到 $\mathscr{B}$ 距离的平方相同，应为

$\begin{array} {l } \boldsymbol{{ \xi \cdot \xi }} & { = \boldsymbol{g ( \xi , \xi )} = g _ { \alpha \beta } \xi ^ { \alpha } \xi ^ { \beta } } \\ { } & { = s _ { \mathscr{AB} }^ { 2 } = \left( \xi ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \xi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \text { 在苹果上 } } \\ { } & { = - \left( \xi ^ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( \xi ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \xi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \xi ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \text { 在空时中 }\end{array}$

所以度规诸分量为

$g _ { 11 } = g _ { 22 } = 1 , g _ { 12 } = g _ { 21 } = 0$

即

$g _ { \alpha \beta } = \delta _ { \alpha \beta }$ ，在苹果上，局域Euclid 坐标；

$g _ { 00 } = - 1 ; g _ { 0 k } = 0 ; g _ { j k } = \delta _ { j k }$ ，在空时中，局域Lorentz坐标。

在局域Lorentz坐标中度规的这些特定分量，在此处和以后记为 $g _ { \hat\alpha \hat\beta } \text { 或 } \eta _ { \alpha \beta }$ ，与克朗内克符号相似 $\delta _ {\alpha \beta }$ ,写成矩阵形式为：

1.5时间

时间的定义应使运动看起来单纯。

万物沉睡时，时间犹觉醒。

万物皆可逝，时间永挺立。

倜儒不受拘，万物含其中。

古今与未来，皆由时间生。

理性兮理性，汝宜作见证；

理性兮理性，汝宜永坚定。

广博仙人，学诃婆罗多

(约公元400年)

相对于局域 Lorentz参考系，一个自由粒子「以匀速沿直线运动」。「直线」的含义，在图1.7所示的惯性参考系模型中已很清楚。但是，「匀速」从何而来？或者，「速度」何以表示呢？图中甚至连一个钟也没有！

改进的完善的 Lorentz参考系模型不懂仅如图1.7一样有洞，而且在每个洞上都有钟控制的活门。仅当弹丸(1)通过空间中的正确区域，且(2)在正确的时间间隔(「时间窗口」)内穿过洞口时，才能击中目标。于是，时间应如何定义呢？时间的定义应使运动看起来单纯！

广泛应用的时间标准是日，即从某日正午到次日正午的时间。然而，若取日为时间标准，人们发现每一个好的钟或表都与之发生冲突。理由很简单:地球本身的轴自转，同时绕太阳沿轨道公转。太阳在天空的运行并非单单来源于上述任何一个效应，而是来源于两者的组合，尽管两者的量值有所不同。地球轴自转的角速度较快(约每年366.5圈)，其之均匀令人诧异。太阳相对地球中心的视角速度(每年一圈)却并不均匀。地球在椭图轨道(椭率0.017)上运动时，若它与太阳的距离比平均距离小百分之一，则太阳视角速度将比其平均值大百分之二，若地球与太阳的距离比平均距离大百分之一，则太阳视角速度将比其平均值小百分之二(Kepler定律)。对于前者，若以每年圈数表示，则太阳在天空运行的瞬时转动速度约为

366.25 - (1＋0.02)；

对于后者，约为

366.25 - (1-0.02)

「平均太阳日」包含24×3，600＝86，400标准秒，可见，当地球与太阳的距离比平均值小百分之一(或大百分之一)时，从某日正午到次日正午的标秒数将比通常值大(或小)

$(0.02(年减少圈数))/(365.25(年平均圈数))×86，400秒$

～4.7秒

这就是从正午到正午的时间账。一个逐月变化如此之大的时间标准是不能接受的。否则，光速竟也会逐月变化！

一旦认识到(古人已经认识到这一点)缺少这种均匀性，人们便被迫放弃以太阳日为时间标准，因太阳日不能使运动看起来简单。于是转向新的时间标准，不管地球绕太阳的公转而注目于地球绕轴的自转；恒星日即恒星接连两次到达天顶的时间。新标准很好！或者，更确切的说，当测量的精度还不足以察觉地球固有角速度的变化时，这个新时间标准是好的。哪个钟胆大妄为，敢于向地球自转的准确性挑战呢？这可是天国的机器。

Halley(1963)以及kant(1754)等后人因下述事实怀疑这个时间标准有毛病，即根据 Newton引力理论，采用当时的时间标准推算的日全食带，与古代希腊罗马人在该日蚀期间实际记录的位置之间存在着明显的差别。月亮在空间撒下了运动着的阴影。在日蚀那天月影在自转的地球表面抹上了黑刷状的一笔，它往往长数千公里，而宽度则一般远小于百公里。凡讲到尽人皆知的地球并欲使月影正好落在地球之上者。必须非常仔细地往回计算以便确定两个关键项:(1)在所涉古代某日的每一时刻，相对于地球和太阳而言，月球位于何处；(2)从那时起到现在，地球已经转过了多少角度。以公元484年1月14日的日蚀为例(图1.8)，若假设在其间的十五个世纪中，地球的自转角速度都与1900年(天文参照点)时相同，则所得结果是错误的。地球必须回拨30°(或月亮离开其计算所得位置，或是两种效应的某种组令)，才能使雅典人处于黑影之下。为了补上这30°之差(或者，若部分效应起源于月亮角动量的慢改变，则小于30°)，当年地球之自转应快于今日。若将上述差别之绝大部分归于地球的自转减慢(自转减慢的速率与现代原子钟证实的结果一致)，并假定从那时到现在的减慢速率是均匀的(角速度修正正比于所经时间的一次方，角度修正则正比于所经时间的平方)，可以估计出修正量:

图1.8计算的公元484年1月14日全食带(左侧；计算是以地球相应于其1900年角速度无自转减慢为根据的)与前移到使全食中心(日出处)位于雅典的全蚀带之对比［位移近30°在计算中所取的实际减速值为32.75角秒/(世纪)^2］·根据泰恩(Tyne)市卡斯尔(Newcastle)大学地球物理和行星物理系F.R.Stephenson博士的意见，这次日蚀「无疑是所有古代欧洲日蚀中最可靠的一次」。他特意为本书准备了这幅插图，并寄来了那不勒斯(Naples)Marinus Proclus所撰原始希腊文的雅典Procclus(公元485年死于雅典)傅记之一，其中写道:「在他死的前一年，并未预料这些不样之兆；例如如此伟大的日蚀，使得夜晚在大白天突然降临。黑暗是如此深沉，甚至星星都在天空中出现了。这件事发生在东部的天空上，当时太阳居于学羯宫」［转引自 Westermann Boissonade1878年译本」这次日蚀的30°之差，连同其它日蚀的相应量，是否能代表「正确」的修正量呢？「正确」可不是简单的字眼。在地中海区域，一次日全蚀和下一次往往相隔许多年。希腊和罗马各省之间，既远不具有和平与安定生活的同样水平，更远没有观测日蚀并为后代记录下来的共同标准。如果说过去的记录是令人不快地支离破碎，那么，更加令人不快的是:现代一些毫无鉴别能力的「研究者」的蜂涌而入，以及随心所欲地把这个或那个历史事件证认为所计算的这个或那个日蚀。幸而关于地球自转的长期减速，现在已有一大批经批判识别而可靠地流傅下来的文献(包括天文学和历史学文献)可查利用。除了O.Neug- bauer(1959) Mac Donald(1960)的书外，还有 Curott(1966)的文章，以及由上述作者引述的一些文目，关键文目如下(我们感谢 Otto Neugebauer教授对这些文目的介绍——此事与下面引述的另一位Neugebauer无关):关于古代记录和古代日蚀带的计算，见F.K.Ginzel Oppolzer(1887)和 Ginzel Neugebauer(1927，1929和1930)。本图不选其它日蚀而选如上的特定日蚀的原因是它的历史记载极为可靠。

30°或两小时 1500年以前

并可估计出在校短时间内的修正量如下:

30°/102或1.2分 150年以前，

30°/104或0.8秒 15年以前。

由此可见，用地球作为计时标准失败了，它已由较好的标准——天体的轨道运动所代替，这是更能「使运动看起来单纯」的时间标准。今天，天文时本身也已被作为基准的原子时所取代(见框1.4「今日的时间」)。

了更好地了解如何定义时间，让我们观察一个的钟。令t为一个「好」的钟给出的时间(局域惯性参考系的时间坐标)；它应使自由粒子在局域空时区域的轨迹为直线。令T(t)是「坏」钟的读数；它使得在局域空时区域中，自由粒子的世界线是弯曲的(图1.9)。若转换为新的(「坏」的)时间，原来的加速度值变变为：

$0 = \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { d T } { d t } \frac { d x } { d T } \right) = \frac { d ^ { 2 } T } { d t ^ { 2 } } \frac { d x } { d T } + \left( \frac { d T } { d t } \right) ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } x } { d T ^ { 2 } }$

为了解释粒子的这种加速度，新时间的采用者引入一虚拟力:

$F _ { x } = m \frac { d ^ { 2 } x } { d T ^ { 2 } } = - m \frac { \left( \frac { d x } { d T } \right) \left( \frac { d ^ { 2 } T } { d t ^ { 2 } } \right) } { \left( \frac { d T } { d t } \right) ^ { 2 } }$

通过这个「坏」时间的例子可以清楚看出，当 Newton提出「时间均匀地流动」( $\frac {d ^ { 2 } T} {d t ^ { 2 }} = 0$ )这一原则时，他想象的是一个「好」的时间。时间的定义应使得运动看起来单纯！

由时间定义本身得出的均匀性原则，应允许时间尺度自由变化。量T＝at＋b和t本身一样满足上述要求。实际的历史表明，对时间的单位和原点会有多种选择。每一种选择都需要人们的某些活动来加以赞许，从法者的经验到某个委员会的公告等等。本书取光传播一厘米所需要的时间为时间单位来计时。类空间隔和类时间隔都用同一几何单位厘米量度。任何其它选择都会使得对自然界中简单事物的分析复杂化。没有别的选择能够实现 Minkowski的格言，「从此以后，空间本身和时间本身，都注定要消逝成只剩影子，而只有两者的某种组合能保持其独立的现实性。」

图1.9如图，好钟(左)与坏钟(右)描绘同样一些自由粒子经过同一空时区域。右图所描绘的世界线给人有力作用的印象。时间的恰当定义应消除此类虚拟力。虚线把两种时间尺度的相应时刻连接起来。

今天，时间可以比距离更精确地测量。这是否成为反对取厘米基本单位的理由呢？不，只要采取下述新的厘米定义就行了；几何动力学的标准厘米定义为以1900.0回归年为界限的两「有效二分点」之间隔的下述分数。

$1/(9.460546×10^{17})$ (1.3)

1900.0回归年因其众所周知的确定性和准确性，被国际公认为基准年。标准委员会定义了历史秒，即是标准间隔31，556，95.974秒。如果当时能足够精确地知道光速，标准委员会原有可能同时给出此标准间隔内的厘米数。但未能作到，因当时光速只能准到6位数字。此外，以Kr86桔红色谱线波长定义的国际厘米，只有9位数字(16，507.6373个波长为1国际厘米)然而标准秒却给到11位数字。定义几何动力学标准厘米使之与标准秒相配，即规定1900.0标回归年包含

$9.4605460000×10^{17}$

个标准厘米。于是，光速严格地等于

$\frac {9.4605460000 \times 10^{17}}{31，556，925.974}几何动力学厘米/秒$

这一结果与1967年所知的，以「国际厘米/秒」为单位的光速值

29，979，300，000±30，000国际厘米/秒

相容。近代测量[Evenson 等(1972)]改变了前述1967年论据的一些细节，但原则不变。

最后编辑于：2019.02.06 12:48:02

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