通透数量关系建构数学模型
——例谈以“鸡兔同笼”问题解法多样性培养数感及建构模型
乐平市第九小学蒋铭国
摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》发布，全面重新界定了义务教育阶段的数学课程性质及基本理念。数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学教学上升为数学教育。数学教育指向学生数学核心素养的培养。本文旨在以“鸡兔同笼”问题教学实践为例，借助解法多样性，通透问题情境中蕴含的“千丝万缕”的数量关系，透过现象，关注数学本质，从而建构数学模型。力求在丰富的思维过程中发展学生的数感能力，促进数学思考，体验模型思想，增强分析和解决问题的能力。
关键词：数量关系 数感 数学思考 数学模型
“鸡兔同笼”问题中的彼此间的数量关系甚为密切，具有“牵一发而动全身”的牵扯，是培养数感的极好范例。在解法多样性中，数学思考显得尤为重要。正如郑毓信教授在《数学思维与小学数学》中所说，“走向数学思维”，并力求实现从“数学地思维”到“通过数学学会思维”的跨越。在思维力的推动下，关注数学本质，触摸数学模型便水到渠成，顺理成章，也实现了发展“人”的教育。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。厘清数量关系，培养数感能力，是数学教学的基本任务。建构数学模型，关注数学本质是数学思考的具体体现。现就“鸡兔同笼”问题教学实践中遇到的问题及思考，做交流如下。
“鸡兔同笼”问题是北师大版数学五年级上册“数学好玩”中的内容，课题是“尝试与猜测”。教材上内容是通过列表法解决问题的，旨在体验尝试与猜测的过程，并通过验证获得正确结果。
为了进一步丰富数学活动，在数学活动中感受数学本质，促进数学思考力的提升，特意在教材列表法解决“鸡兔同笼”问题的基础上，进行了后续拓展课程，致力于在通透数量关系的基础上，触摸问题中的数学本质，建构数学问题模型，进一步有效提升学生的数学思考力。
一、通透数量关系，训练数感能力
为了让学生多角度弄通弄透“鸡兔同笼”问题中的数量关系，并在感知、理解数量关系中提升数感能力，特借助解法多样性进行了教学探索与实践。
例：鸡和兔一共有35只，腿有94条，求鸡和免各有多少只?
方法一：金鸡独立法
解法思维：所有的鸡与兔全部抬起一半的腿，即鸡抬起一条腿，兔抬起两条腿，列式为总腿数除以2。然后再减去鸡兔的总头数，也就相当于鸡兔再一次抬起来一条腿。此时剩下的数就是所有的兔剩下的腿数，也是兔的只数。
算式过程为：
94÷2=47（条） 47-35=12（只） 35-12=23（只）
综合算式：
94÷2-35
= 47-35
= 12（只） 35-12=23（只）
方法二：砍腿法
解法思维：将所有的鸡和兔砍去两条腿，然后用所有的腿数减去已经砍去的腿数，剩下来的就是兔的腿数，并且每只兔只有两条腿。然后用剩下的腿数除以2，便可求出兔的只数，从而进一步求出鸡的只数。
算式过程为：
35×2=70（条） 94-70=24（条） 24÷2=12（只） 35-12=23（只）
综合算式：
（94-35×2）÷2
= （94-70）÷2
= 24÷2
= 12（只） 35-12=23（只）
方法三：假设法
解法思维：假设全部是兔，或者说所有的鸡和兔一样，都长有四条腿。这样一来腿的条数就会多出来。多出来的腿的条数就是因为鸡原本是两条腿，现在我们假设成了四条腿，也就是说每只鸡多出来了两条腿。所以用多出来的腿数除以2就是鸡的只数。
算式过程为：
35×4=140（条） 140-94=46（条） 46÷2=23（只） 35-23=12（只）
综合算式：
（35×4-94）÷2
= （140-94）÷2
= 46÷2
= 23（只） 35-23=12（只）
方法四：全鸡纠偏法【1】
解法思维及过程：假如所有的腿都是鸡的，那么有鸡47只，即94÷2=47（只）。这意味着有47只鸡，事实上是35个头。如此一来，多出12只鸡，即47-35=12（只）。于是把24只鸡置换成12只兔，确保减少12个头，但总腿数没有变化。所以兔有12只，鸡有23只，即35-12=23（只）或47-12×2=23（只）。
方法五：全兔纠偏法【2】
解法思维及过程：假如所有的腿都是兔的，那么有兔23只，鸡1只，即94÷4=23（只）……2（条）。这意味着有23只兔，1只鸡，事实上是35个头。如此一来，少了11个头，即35－23-1=11（只）。于是把11只兔置换成22只鸡，确保增加11个头，但总腿数没有变化。所以兔有12只，即23－11=12（只），鸡有23只，即35-12=23（只）或11×2+1=23（只）。
方法六：解方程法
解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只，
2x+4×（35-x）= 94
2x+140-4x = 94
46= 2x
2x= 46
x = 23
35-23=12（只）
答：鸡有23只，兔有12只。
通过尝试多种方法解决问题的过程中，孩子们充分感悟了其中蕴含的数量关系，数感能力得到了切实的训练与提升。事实上，孩子们在解决问题的尝试中，对其中的数量关系及其“牵一发而动全身”的牵扯捋得更清了，理解得更通透了，也为后续建构数学模型奠定了感性基础与数学理解。
二、建构数学模型，关注数学本质
当孩子们理解了“鸡兔同笼”问题之后，可以抛出其它类似问题。按照教材要求可以采用列表法，通过“尝试与猜测”，解决问题，获取问题结果。由于我们有了后续拓展学习，尤其是“砍腿法”与假设法的学习，让孩子们对“鸡兔同笼”问题有了更深刻的理解，于是我们可以引领孩子们进行更加深入数学思考，关注数学本质，从而建构数学模型。
如何关注数学本质，建构数学模型呢？于是抛出以下例题。
例1：有面值5元和10元的人民币共14张，总值100元，5元和10元的人民币各有多少张？
例2：35人去划船，租大小船共9条，已知大船每条坐5人，小船每条坐3人，租了几条大船？几条小船？
为了让学生充分体验思考的过程，感悟例题与“鸡兔同笼”问题之间的联系，于是让学生们分小组自由讨论。当学生们经过讨论后进行交流，彼此补充、互相启发，孩子们达成以下初步认识。在例题1中，“鸡”是5元的人民币，“兔”是10元的人民币；“鸡兔的总只数”是14张；“每只鸡的腿数”是5元，“每只兔的腿数是”10元，“总腿数”是100元。
在例2中，“鸡”是小船，“兔”是大船；“鸡兔的总只数”是9条；“每只鸡的腿数”是3人，“每只兔的腿数是”5人，“总腿数”是35人。
通过关注数学本质的训练，建立问题间的链接，初步让孩子们体验到，用数学的思维来思考表面看似不同的问题，实际上它反映的数学数量关系模型是一致的。“鸡兔同笼”数学问题模型所反映的数量关系是：甲、乙事物一共有M个；甲具有某种属性x，乙具有某种属性y，甲乙具有这种属性一共有N。则甲、乙事物分别有多少个？
起初有些孩子可能不太理解这种模型意识，也不太理解这里面所关注的数学本质。但是经过几次体验下来之后，孩子们都能够较好地理解其中的含义。也能够在不同的问题表象中寻找出其数学模型所对应的事物属性。
三、磨炼数学眼力，提升数学思考
孩子们具有了初步的模型意识之后，就可以鼓励他们到生活中去应用了。在这样的数学活动中，孩子们可以真切地磨炼数学眼力，提升数学思考。在完成老师布置的自编题目活动中，孩子们带来了如下题目。
例1：停车场有电瓶车和汽车一共16辆，已知一共有50个轮子，请问电瓶车多少辆？汽车多少辆？
例2：一天，小明捉来七星瓢虫和蜘蛛做观察研究。一共有9只，66条腿。你知道七星瓢虫和蜘蛛分别有多少只吗？（七星瓢虫6条腿，蜘蛛8条腿。）
当孩子们尝试运用数学的眼光观察各种各样的生活现象，便生成了许多精彩的数学问题。将这些问题聚集在一起进行交流，在交流的过程中不但加深了孩子们对问题模型的感性认识，也深化了对这一数学模型的理解及其运用。这一切，让学生的数学思考训练扎实有素，成长掷地有声。
经过系列课程之后，孩子们学会了利用数学的眼光，在生活中提炼出“鸡兔同笼”问题，并能够轻易地进行解决。同时对这一数学模型已经有了较为深刻的认识与理解，数感能力也得到了有效的训练与提升。着实收到了在通透数量关系的同时，建构了数学模型的预期效果。
注释：
【1】全鸡纠偏法：事先假定全部为鸡，用所有的腿数除以2，得出鸡的头数，与事实不符，于是进行纠偏。为了能够将多出的头数消除掉，又要确保腿数不变，所以用多出头数的双倍数鸡置换单倍数兔。
【2】全兔纠偏法：事先假定全部为兔，用所有的腿数除以4，得出兔的头数，与事实不符，于是进行纠偏。为了能够将缺少的头数增补上，又要确保腿数不变，所以用缺少头数的单倍数兔置换双倍数鸡。
参考文献：
【1】数学建模算法与应用/司守奎、孙玺菁著.—北京：国防工业出版社，2011.8
【2】数学建模理论与方法/沈世云、杨春德、刘勇、张清华、潘显兵、郑继明著.—北京：清华大学出版社，2016.12
【3】如何培养学生的数感/安吉莱瑞.—北京师范大学出版社,2007.06.01
【4】数学思维与小学数学/郑毓信.—江苏教育出版社,2008.08.01
【5】情真意切话数学/张奠宙、丁传松、柴俊.—科学出版社,2011.01.01
