Monads

带有map和flatMap方法的数据结构很常见。实际上，there’s a name that describes this class of a data structures together with some algebraic laws that they should have. 他们称作Monads。
那么，什么是Monad？What is Monad?

A monad M is a parametric type M[T] with two operations, flatMap and unit, that have to satisfy some laws.

trait M[T] {
  def flatMap[U](f: T => M[U]): M[U]
}
def unit[T](x: T): M[T]

通常Monad中的flatMap称作bind。

Examples of Monads

下面列举了Scala中的一些Monads，

1. List is a monad with unit(x) = List(x)
2. Set is monad with unit(x) = Set(x)
3. Option is a monad with unit(x) = Some(x)
4. Generator is a monad with unit(x) = single(x)

这些类型中都包含了同样的flatMap方法，然而unit方法对于每个monad都要不同定义。

Monads and Map

对于每个monad，可以通过flatMap和unit来定义map，即：

m map f == m flatMap (x => unit(f(x))) == m flatMap (f andThen unit)

andThen方法在表示函数的组合，f andThen unit表示首先执行函数f接着执行函数unit。

Monad Laws

To qualify as a monad, a type has to satisfy three laws:

1. Associativity:

(m flatMap f) flatMap g == m flatMap (x => f(x) flatMap g)

2. Left unit

unit(x) flatMap f == f(x)

3. Right unit

m flatMap unit == m

Example of Checking Monad Laws

下面举一个例子，证明Option符合monad laws。首先给出Option对flatMap的定义。

abstract class Option[+T] {
  def flatMap[U](f: T => Option[U]): Option[U] = this match {
    case Some(x) => f(x)
    case None => None
  }
}

• Checking the Left Unit Law
  首先来证明Left Unit Law，也就是证明unit(x) flatMap f == f(x)，由于Option的Unit定义为unit(x) = Some(x)，故证明Some(x) flatMap f == f(x)。

   Some(x) flatMap f ==
   Some(x) match {
     case Some(x) => f(x)
     case None => None
   } == f(x)

• Checking the Right Unit Law
  证明Right Unit Law，也就是证明m flatMap unit == m，即证明m flatMap Some == m。

   m flatMap Some ==
   m match {
     case Some(x) => Some(x)
     None => None
   } == m

• Checking the Associative Law
  最后，证明Associative Law，也就是证明(m flatMap f) flatMap g == m flatMap (x => f(x) flatMap g)。

   (m flatMap f) flatMap g ==
   m match { case Some(x) => f(x) case None => None }
     match { case Some(y) => g(y) case None => None } ==
     m match {
     case Some(x) => f(x) match { case Some(y) => g(y) case None => None }
     case None => None match { case Some(y) => g(y) case None => None }
   } ==
   m match {
     case Some(x) => f(x) match { case Some(y) => g(y) case None => None }
     case None => None
   } ==
   m match {
     case Some(x) => f(x) flatMap g
     case None => None
   } == m flatMap (x => f(x) flatMap g)

Significance of the Laws for For-Expressions

1. Associativity says essentially that one can “inline” nested for expressions:

for (y <- for (x <- m; y <- f(x)) yield y; z <- g(y)) yield z ==
for (x <- m; y <- f(x); z <- g(y)) yield z

2. Right unit says:

   for (x <- m) yield x == x

3. Left unit does not have an analogue for for-expressions.

Another type: Try

在后面的课程里将会用到的一个类型就是Try，他的定义如下：

abstract class Try[+T]
case class Success[T](x: T) extends Try[T]
case class Failure(ex: Exception) extends Try[Nothing]

在Scala中Nothing是所有类型的子类型，一般用来表示什么都没有返回，如发生了异常。
对于Try的作用有如下解释：

Try is used to pass results of computations that can fail with an exception between threads and computers.

也就是说异常的传播可以不是通过调用栈，而是在不同的thread，不同的机器上进行传播。

你可以在Try中封装任何计算，也就是说：

Try(expr) // gives Success(someValue) or Failure(someException)

为了支持上面的创建Try对象的语法，需要定义Try的Object类型，并且实现apply方法。apply方法类似于()的方法名。如下所示：

object Try {
  def apply[T](expr: => T): Try[T] =
    try Success(expr)
    catch {
      case NonFatal(ex) => Failure(ex)
    }
  }
}

其中的参数传递语法expr: => T表示call by name，也就是说传递参数时并不先进行evaluate求值，直到进入try Success(expr)才进行evaluate，这也是可以在apply内部捕捉到异常的原因。

就像Option类型一样，Try也可以使用for表达式。比如：

for {
  x <- computeX
  y <- computeY
} yield f(x, y)

如果computeX和computeY成功运行得到结果Success(x)和结果Success(y)，那么该表达式返回Success(f(x, y))；如果上面两个运算只要有一个出现错误，该表达式返回Failure(ex)。

为了支持for表达式，需要在Try类型上定义map和flatMap方法。定义如下所示：

abstract class Try[T] {
  def flatMap[U](f: T => Try[U]): Try[U] = this match {
    case Success(x) => try f(x) catch { case NonFatal(ex) => Failure(ex) }
    case fail: Failure => fail
  }
  
  def map[U](f: T => U): Try[U] = this match {
    case Success(x) => Try(f(x))
    case fail: Failure => fail
  }
}

其实，map是可以由flatMap定义的：

t map f == t flatMap (x => Try(f(x))) == t flatMap (f andThen Try)

问题来了，定义了unit = Try后，Try是不是一个monad呢？答案是：不符合left unit law，也就是Try(expr) flatMap f != f(expr)。为什么呢？课上给的解释是：

Indeed the left-hand side will never raise a non-fatal exception whereas the right-hand side will raise any exception thrown by expr or f.

由Left unit does not have an analogue for for-expressions这条结论可以验证，即使Try违法了left unit law他也可以使用for表达式。

Monad这一概念很抽象，也不怎么好理解，需要在以后的课程中使用Monad的特性来加深对Monad的认识。