参考：概率论与数理统计教程（第二版） 茆诗松

个人觉得“连续随机变量函数的分布”这个表述有点绕，远不如英语的“Distribution of Functions of Random Variables”，所以加了个英文的标题

几个定理的证明的练习和笔记
先总结下思路脉络：

当g(x)为严格单调时

定理2.6.1是重点，后面的定理2.6.2~定理2.6.4都是基于定理2.6.1推导

定理2.6.1给出了 $y=g(x)$ 严格单调时，随机变量 $Y=g(X)$ 的通用PDF公式
定理2.6.2给出了初始随机变量为正态分布，Functions of (正态分布随机变量)的Function为一次线性函数时的分布
定理2.6.3给出了初始随机变量为正态分布，Functions of (正态分布随机变量)的Function为对数函数时的分布，并引出了对数正态分布
定理2.6.4给出了初始随机变量为伽马分布，Functions of (正态分布随机变量)的Function为kX时的分布，并引出了其应用——任一伽马分布转化为卡方分布

定理2.6.5给出了特定条件下 $F_{X}(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布 $U(0,1)$ 这么一个结论，并推演出了各种分布随机数的获取方法——随机模拟法（蒙特卡罗法）

当g(x)为其他形式时

给出了 $g(X)$ 的通用求法思路，结合例题思考

下面进入正题

当g(x)为严格单调时

定理2.6.1

设 $X$ 是连续随机变量，其密度函数为 $p_{X}(x)$ ， $Y=g(X)$ 是另一个随机变量。
若 $y=g(x)$ 严格单调，其反函数 $h(y)$ 有连续导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为
$p_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|,a<y<b \\ 0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad others \end{matrix}\right.$
其中 $a=min\left\{g(-\infty,g(\infty))\right \},b=max\left\{g(-\infty,g(\infty))\right \}$

证明：

设 $g(x)$ 是严格单调增函数，这时它的反函数 $h(y)$ 也严格单调增函数。
且 ${h}'(y)>0$ 。记 $a=g(-\infty),b=g(\infty)$ ，这意味着 $y=g(x)$ 仅在区间 $(a,b)$ 取值，于是y的CDF $F_{Y}(y)$ 有

当 $y<a$ 时
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=0$
当 $y>b$ 时
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=1$
当 $a\leqslant y\leqslant b$ 时
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(g(X)\leqslant y)$
$\qquad \qquad \qquad \quad \quad =P(X\leqslant h(y))=\int_{-\infty}^{h(y)}p_{X}(x)dx$
由此得Y的PDF为
$p_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|,a<y<b \\ 0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad others \end{matrix}\right.$
同理可证当 $g(x)$ 是严格单调减函数时，结论也成立。但要注意 ${h}'(y)<0$ ，故要加绝对值符号，这时 $a=g(\infty),b=g(-\infty)$ ，综上所述，定理得证。

定理2.6.2

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma ^2)$ ，则当 $a\neq 0$ 时，有 $Y=aX+b \sim N(a\mu+b,a^2\sigma ^2)$

证明：

当 $a>0$ 时， $Y=aX+b$ 是严格增函数，仍在 $(-\infty,\infty)$ 上取值，其反函数 $h(y)$ 为 $X=(Y-b)/a$ ， ${h}'(y)=\frac{1}{a}$ 由定理2.6.1可得y的PDF
$\quad p_{Y}(y)$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\frac{y-b}{a})\frac{1}{a}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left \{ -\frac{1}{2\sigma^ 2}(\frac{y-b}{a}-\mu)^2\right \}\frac{1}{a}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(a\sigma)}exp\left\{ -\frac{(y-a\mu-b)^2}{2a^2\sigma ^2}\right\}$
这就是正态分布 $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 的PDF。

当 $a<0$ 时， $Y=aX+b$ 是严格减函数，仍在 $(-\infty,\infty)$ 上取值，其反函数 $h(y)$ 为 $X=(Y-b)/a$ ，由定理2.6.1可得y的PDF
$\quad p_{Y}(y)$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma}exp\left\{ -\frac{(y-a\mu-b)^2}{2 a^{2}\sigma^{2}} \right\}$
这是正态分布 $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 的PDF。
$Q.E.D.$

定理2.6.3（对数正态分布）

设随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $Y=e^{X}$ 的概率密度函数为
$p_{Y}(y)=\left \{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma}exp \left \{-\frac{(lny-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}, y>0 \\ 0 \qquad \qquad\qquad \qquad \quad, y\leqslant 0 \end{matrix} \right.$

证明：

$y=e^{x}$ 是严格增函数，它仅在 $(0,\infty)$ 上取值，其反函数 $h(y)$ 为 $x=\ln y$ ，由定理2.6.1可得

当 $y \leqslant 0$ 时， $F_{Y}(y)=0$ ，从而 $p_{Y}(y)=0.$
当 $y>0$ 时， $Y$ 的PDF为
$\quad p_{Y}(y)$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\ln y)|{\ln}'y|$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left \{ -\frac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}\frac{1}{y}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma }exp\left \{ -\frac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \}$

对数正态分布

这个分布被称为“对数正态分布”，记为 $LN(\mu,\sigma^2)$ ，其中 $\mu$ 称为对数均值， $\sigma^2$ 称为对数方差。对数正态分布 $LN(\mu,\sigma^2)$ 是一个偏态分布，也是一个常用分布，实际中有不少随机变量服从对数正态分布，譬如

绝缘材料的寿命服从对数正态分布
设备故障的维修时间服从对数正态分布
家中仅有两个小孩的年龄差服从对数正态分布

对数正态分布

定理2.6.4

设随机变量 $X \sim Ga(\alpha,\lambda)$ ，则当 $k>0$ 时，有 $Y=kX\sim Ga(\alpha,\lambda/k)$

证明：

$x>0$ 时， $Ga(\alpha,\lambda)$ 的 $PDF$ :
$p(x)=\frac{(\lambda)^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda x \right \}$

因为 $k>0$ ，所以 $y=kx$ 是严格增函数，它仍在 $(0,\infty)$ 上取值，其反函数为 $x=y/k$ ，由定理2.6.1可得

当 $y<0$ 时， $p_{Y}(y)=0$
当 $y\geqslant 0$ 时，
$\quad p_{Y}(y)=$
$=p_{X}[h(y)]|{h}'(y)|$
$=p_{X}(\frac{y}{k})\frac{1}{k}$
$=\frac{\lambda^{\alpha}}{k\Gamma (\alpha)}(\frac{y}{k})^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda \frac{y}{k} \right \}$
$=\frac{(\lambda/k)^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}y^{\alpha-1}exp\left \{-\lambda \frac{y}{k} \right \}$
此即 $Ga(\alpha,\lambda/k)$ 的PDF
$Q.E.D.$

用途：

将任一伽马分布转化为 $\chi ^2$ 分布，如
当 $X \sim Ga(\alpha,\lambda)$ ，则 $2\lambda X\sim Ga(\alpha,\lambda/2\lambda)=Ga(\alpha,1/2)=\chi^2(2\alpha)$

定理2.6.5

若随机变量的分布函数 $F_{X}(x)$ 为严格单调递增的连续函数，其反函数 $F_{X}^{-1}(y)$ 存在，则 $Y=F_{X}(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布 $U(0,1)$

证明：

下求 $Y=F_{X}(X)$ 的分布函数。由于分布函数 $F_{X}(X)$ 仅在[0,1]区间上取值，故

当 $y<0$ 时，因为 $\{F_{X}(X)\leqslant y\}$ 是不可能事件，所以
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)=0$
当 $0\leqslant y \leqslant 1$ 时，有
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad =P(X\leqslant F_{X}^{-1}(y))=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))=y$
当 $y\geqslant 1$ 时，因为 $\{F_{X}(X)\leqslant y\}$ 是必然事件，所以
$F_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(F_{X}(X)\leqslant y)=1$

综上所述， $Y=F_{X}(X)$ 的分布函数为
$F_{Y}(y)=\left\{ \begin{matrix} 0,y<0 \qquad\\ y,0\leqslant y <1\\ 1,y\geqslant 1 \qquad\\ \end{matrix} \right.$
这正是 $(0,1)$ 上均匀分布的CDF，所以 $Y\sim U(0,1)$

意义：

任一个随机变量 $X$ 都可以通过其分布函数 $F(X)$ 与均匀分布随机变量 $U$ 发生关系。譬如

$X$ 服从指数分布 $Exp(\lambda)$ ，
其分布函数为 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ ，
当 $x$ 换为 $X$ 后，有
$U=1-e^{-\lambda X} \quad$ 或 $X=\frac{1}{\lambda}\ln \frac{1}{1-U}$
后一式表明：由均匀分布 $U(0,1)$ 的随机数（伪观察值） $u_{i}$ 可得指数分布 $Exp(\lambda)$ 的随机数 $x_{i}=\frac{1}{\lambda}\ln \frac{1}{1-u_{i}},i=1,2,…,n,…$ 。
而均匀分布随机数在任一个统计软件都可产生，从而指数分布（继而其他分布）随机数也可以获得。而各种分布随机数的获得是进行随机模拟法（又称蒙特卡罗法）的基础