高等代数理论基础53：最小多项式

最小多项式

由哈密顿-凯莱定理,任给数域P上的n级矩阵A, $\exists f(x)\in P[x]$ ,使 $f(A)=O$ ,称f(x)以A为根,其中,次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式

引理：矩阵A的最小多项式是唯一的

证明：

$设g_1(x)和g_2(x)都是A的最小多项式$

$由带余除法,g_1(x)可表成g_1(x)=q(x)g_2(x)+r(x)$

$其中r(x)=0或\partial(r(x))\lt \partial(g_2(x))$

$\therefore g_1(A)=q(A)g_2(A)+r(A)=O$

$\therefore r(A)=O$

$由最小多项式的定义$

$r(x)=0$

$即g_2(x)|g_1(x)$

$同理可证g_1(x)|g_2(x)$

$\therefore g_1(x)与g_2(x)仅相差一个非零常数因子$

$又g_1(x)与g_2(x)的首项系数都为1$

$\therefore g_1(x)=g_2(x)$

引理：设g(x)是矩阵A的最小多项式,则 $f(x)$ 以A为根的充要条件为 $g(x)|f(x)$

注：引理说明,矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式

例：

1.数量矩阵 $kE$ 的最小多项式为x-k,特别地,单位矩阵的最小多项式为x-1,零矩阵的最小多项式为x

2.若A的最小多项式1次多项式,则A一定是数量矩阵

3.设 $A=\begin{pmatrix}1&1\\ &1\\ & &1\end{pmatrix}$ ,求A的最小多项式

解：

$\because A的特征多项式为|xE-A|=(x-1)^3$

$\therefore A的最小多项式为(x-1)^3的因式$

$显然,A-E\neq O$

$又(A-E)^2=O$

$\therefore A的最小多项式为(x-1)^2$

若矩阵A与B相似, $B=T^{-1}AT$ ,则 $\forall f(x)$ ,有 $f(B)=T^{-1}f(A)T$ ,故 $f(B)=O\Leftrightarrow f(A)=O$

故相似矩阵有相同的最小多项式

注：最小多项式相同的矩阵不一定相似

例：设 $A=\begin{pmatrix}1&1\\ &1\\ & &1\\ & & &2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&1\\ &1\\ & &2\\ & & &2\end{pmatrix}$

A与B的最小多项式都等于 $(x-1)^2(x-2)$ ,但它们的特征多项式不同,故A与B不相似

引理：设A是一个准对角矩阵 $A=\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\end{pmatrix}$ ,且设 $A_1$ 的最小多项式为 $g_1(x)$ , $A_2$ 的最小多项式为 $g_2(x)$ ,则A的最小多项式为 $g_1(x),g_2(x)$ 的最小公倍式 $[g_1(x),g_2(x)]$

证明：

$记g(x)=[g_1(x),g_2(x)]$

$\because g(A)=\begin{pmatrix}g(A_1)\\&g(A_2)\end{pmatrix}=O$

$\therefore g(x)可被A的最小多项式整除$

$若h(A)=O$

$则h(A)=\begin{pmatrix}h(A_1)\\ &h(A_2)\end{pmatrix}=O$

$\therefore h(A_1)=O,h(A_2)=O$

$\therefore g_1(x)|h(x),g_2(x)|h(x)$

$\therefore g(x)|h(x)$

$\therefore g(x)是A的最小多项式\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：结论可推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵

$A=\begin{pmatrix}A_1\\ &A_2\\ & &\ddots\\& & &A_s\end{pmatrix}$

$A_i$ 的最小多项式为 $g_i(x),i=1,2,\cdots,s$ ,则A的最小多项式为 $[g_1(x),g_2(x),\cdots,g_s(x)]$

引理：k级若尔当块 $J=\begin{pmatrix}a\\1&\ddots\\ &\ddots&a\\ & &1&a\end{pmatrix}$ 的最小多项式为 $(x-a)^k$

证明：

$J的特征多项式为(x-a)^k$

$J-aE=\begin{pmatrix}0\\1&\ddots\\ &\ddots&0\\ & &1&0\end{pmatrix}$

$(J-aE)^{k-1}=\begin{pmatrix}0\\\vdots& &O\\0\\1&0&\cdots&0\end{pmatrix}\neq O$

$\therefore J的最小多项式为(x-a)^k\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积

证明：

$必要性显然成立$

$充分性$

$由矩阵和线性变换之间的对应关系$

$可定义任意线性变换\mathscr{A}的最小多项式$

$等于对应矩阵A的最小多项式$

$下证数域P上某线性空间V上的线性变换\mathscr{A}的最小多项式g(x)是P上互素的一次因式的乘积$

$g(x)=\prod\limits_{i=1}^l(x-a_i)$

$则\mathscr{A}有一组特征向量做成V的基$

$\because g(\mathscr{A})V=\{0\}$

$\therefore V=V_1\oplus \cdots\oplus V_l$

$其中V_i=\{\xi|(\mathscr{A-a_iE})\xi=0,\xi\in V\}$

$将V_1,\cdots,V_l各自的基合起来即V的基$

$每个基向量都属于某个V_i$

$\therefore 是A的特征向量\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论：复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式没有重根

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