瑞利熵与广义瑞利商

Hermitian矩阵：

$Hermitian$ 又被称为厄尔米特矩阵，指的是共轭矩阵。矩阵中的每一个第 $i$ 行第 $j$ 列的元素都与第 $j$ 行 $i$ 列的元素共轭相等。 $A^{H}$ 称为 $A$ 的共轭转置， $Hemitian$ 矩阵即 $A^{H}=A$ ，若矩阵中元素都是实数，则 $A^{H}=A^{T}$ 。

瑞利熵的定义（Rayleigh quotient）：

$R(A,x)=\frac{x^{H}Ax}{x^{H}x}$
其中 $x$ 为非零向量，而 $A$ 为 $n\times n$ 的 $Hermitian$ 矩阵。
瑞利熵 $R(A,x)$ 有一个非常重要的性质，即它的最大值等于矩阵 $A$ 最大的特征值，而最小值等于矩阵 $A$ 的最小的特征值，也就满足

$\lambda_{min} \leq \frac{x^{H}Ax}{x^{H}x} \leq \lambda_{max}$
当向量 $x$ 是标准正交基时，即满足 $x^{H}x=1$ 时，瑞利熵退化为

$R(A,x)=x^{H}Ax$

广义瑞利熵（generalized Rayleigh quotient）：

$R(A,B,x)= \frac{x^{H}Ax}{x^{H}Bx}$
其中 $x$ 为非零向量，而 $A$ ， $B$ 为 $n\times n$ 的 $Hermitian$ 矩阵。 $B$ 为正定矩阵。
令 $x=B^{-\frac{1}{2}}x^{'}$ ，则分母转化为
$x^{H}Bx=x^{'H}(B^{-\frac{1}{2}})^{H}BB^{-\frac{1}{2}}x^{'}=x^{'H}B^{-\frac{1}{2}}BB^{-\frac{1}{2}}x^{'}=x^{'H}x$
而分子转化为：
$x^{H}Ax=x^{'H}B^{-\frac{1}{2}}AB^{-\frac{1}{2}}x^{'}$
此时我们的 $R(A,B,x)$ 转化为 $R(A,B,x^{'})$ ：
$R(A,B,x)=\frac{x^{'H}B^{-\frac{1}{2}}AB^{\frac{1}{2}}x^{'}}{x^{'H}x^{'}}$
利用瑞利熵的性质，可知 $R(A,B,x)$ 的最大值为 $B^{-\frac{1}{2}}AB^{-\frac{1}{2}}$ 的最大特征值。

瑞利熵与广义瑞利商

Hermitian矩阵：

瑞利熵的定义（Rayleigh quotient）：

广义瑞利熵（generalized Rayleigh quotient）：

推荐阅读更多精彩内容