什么是粗糙集(四)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

本节将介绍经典粗糙集中粒度的度量相关概念。
我们依旧使用这个决策信息系统为例。

$U$	$a$	$b$	$c$	$e$	$f$	$d$
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

知识粒度

知识粒度定义如下：
给定一个决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $U$ 为论域，若 $B \subseteq C$ ， $U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\}$ ，共有 $m$ 个等价类，则 $B$ 的知识粒度 $GP_{U}(B)$ 为:
$GP_{U}(B)=\sum_{i=1}^{m} \frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}$
在粗糙集中，等价类的粒度越细，其划分能力就越强，近似集越精确；否则划分能力就弱，近似集越粗糙。
其中， $\frac{1}{|U|} \leq GP_{U}(B) \leq 1$ 。当 $U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{|U|} \}$ ， $|U|$ 是 $U$ 元素的个数，此时知识粒度最小 $\frac{1}{|U| }$ ，划分能力最强；当 $U/B=\{U\}$ ，此时知识粒度最大 $1$ ，划分能力最弱。

例如，在上表中：
$U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}$
则 $C$ 的知识粒度为：
$GP_{U}(C)=\sum_{i=1}^{5}\frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}$
$= \frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2}$
$=\frac{17}{81}$
相对知识粒度的定义如下：
给定一个决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $U$ 为论域，若 $P,Q \subseteq A$ ， $U/P=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}$ ， $U/Q=\{Y_{1},Y_{2},...,Y_{n} \}$ 。则 $Q$ 关于 $P$ 的相对知识粒度为
$GP_{U}(Q \mid P)=GP_{U}(P)-GP_{U}(P \bigcup Q)$

例如，在上表中，考虑条件属性集 $C$ ，决策属性集 $D$ ，有
$U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}$

$U/C \bigcup D=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}$
则 $D$ 关于 $C$ 的相对知识粒度为
$GP_{U}(D \mid C)=GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)=$
$=\frac{17}{81}-\frac{15}{81}=\frac{2}{81}$
$GP_{U}(Q \mid P)$ 表示 $Q$ 相对于 $P$ 的分类能力。 $GP_{U}(Q \mid P)$ 值越大，表示 $Q$ 相对于 $P$ 对论域 $U$ 分类能力越强；反之，分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $U$ 为论域， $B \subseteq C$ ，若 $\forall a \in B$ 。
则属性 $a$ 关于条件属性集 $B$ 相对于决策属性集 $D$ 的内部属性重要度为：
$Sig_{U}^{inner}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B-\{a\})-GP_{U}(D \mid B)$
以上表为例，考虑属性 $a$ 关于条件属性集 $C$ 相对于决策属性集 $D$ 的内部属性重要度：
$Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=GP_{U}(D \mid C-\{a\})-GP_{U}(D \mid C)$
$=\{ GP_{U}(C-\{a\})-GP_{U}((C-\{a\}) \bigcup D) \}-\{GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)\}$
考虑 $C-\{a\}$ ， $\{C-\{a\}\} \bigcup D$ 。

$U/(C-\{a\})=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}$

$U/(\{C-\{a\}\} \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}$
所以
$Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0$

外部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $U$ 为论域， $B \subseteq C$ ，若 $\forall a \in (C-B)$
则属性 $a$ 关于条件属性集 $B$ 相对于决策属性集 $D$ 的内部属性重要度为：
$Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})$
还是以上表为例，若 $B=\{c,e,f\}$ ，考虑属性 $a$ 关于条件属性集 $B$ 相对于决策属性集 $D$ 的内部属性重要度：
$Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})$
$=\{ GP_{U}(B)-GP_{U}(B\bigcup D)\} - \{ GP_{U}(B \bigcup \{a\})-GP_{U}((B\bigcup \{a\}) \bigcup D) \}$
考虑 $B$ ， $B\bigcup D$ ， $B \bigcup \{a\}$ ， $(B\bigcup \{a\}) \bigcup D$ 。
$U/B=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}$
$U/(B\bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}$
$U/(B \bigcup \{a\})=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}$
$U/((B\bigcup \{a\}) \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}$