莫兰指数：背景篇

统计学的相关系数与莫兰指数有什么联系吗？
在Emmanuel Paradis的《Moran’s Autocorrelation Coefficient in Comparative Methods》[1]找到了解释。

相关系数

Emmanuel Paradis

相关系数R（Rorrelation ceofficient）

R= \frac{\sum(x_i- \bar x)(y_j- \bar y) }{ \sqrt{[ \sum(x_i- \bar x)^2 \cdot \sum(y_j- \bar y)^2]} }

全局莫兰指数（Global Moran's I ）

$$
I=\frac {n}{S_0} \cdot 
\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{\sum\limits_{i=1}^n {(x_i-\bar x)}^2 } =\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{ S^2 \cdot  \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}}
$$

I=\frac {n}{S_0} \cdot \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{\sum\limits_{i=1}^n {(x_i-\bar x)}^2 } =\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{ S^2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}}[2]

注释：
S_0=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}为空间权重的聚合

S^2=\frac {1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} {({x_i}-{\bar x})}^2

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多数书籍文献中都会提到：

全局莫兰指数I在0至1取值，为正相关，表示具有相似的属性集聚在一起（即高值相邻接或低值相邻接）；全局莫兰指数I在0至-1取值，为负相关，表示具有相异的属性集聚在一起（即高值与低值邻接、低值与高值邻接）；接近于0，则表示随机分布，或不存在空间自相关性

莫兰指数公式可以查到，莫兰指数的含义可以查到；莫兰指数的运用可以查到。但我想明白这个公式的由来，这个公式的取值为什么在[-1,1]之间。

简单地说，我想理解莫兰指数，而不是仅仅是去调用现有的API接口。类似Python学多了，很多功能只要调用包就好了。于是会开始排斥停留在调用包的层面，试着去了解背后的实现。

在地理信息系统中，空间自相关分析通常用ArcGIS进行教学。可看到空间经济统计学的文章，也有用Geoda进行莫兰指数的计算来进行空间自相关分析。说到统计学，那么R语言就和统计学联系上了。

R语言也可以进行莫兰指数计算，于是这样找到了Emmanuel Paradis[3][4]的《Moran’s Autocorrelation Coefficient in Comparative Methods》的文章，去年（2019年）写的，也挺新的，参考价值很大。

Reference

  1. Moran’s Autocorrelation Coefficient inComparative Methods ↩

  2. 空间自相关 (Global Moran's I) 的工作原理 ↩

  3. EMMANUEL PARADIS INSTRUCTORS ↩

  4. CV of EMMANUEL PARADIS ``` ↩

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