本科生科普文：时间反演守恒

前言：

时间反演对称性，或者说时间反演守恒，近年来是一个比较热门的事物。今年为了研究拓扑量子相变，我温习了这方面的知识，作为副产品，写了这个科普。大约是学习了基础物理就能看明白。
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例子1
- 假设你录了一个视频，命名为 $x_1(t)$ 。其中，t代表时刻， $x_1(t)$ 描述 $t$ 时刻的画面。
- 你把这个视频倒放（回放）并录制下来，存储为视频 $x_2(t)$ ；我们称 $x_2(t)$ 是由 $x_1(t)$ 通过“时间反演”得到的。
- 数学上，回放显然可以记为 $x_2(t)=x_1(-t)$ 。
- 现在你比较这两个视频，一般而言，它们不会是一样的。
例子2
- 假设你录制一个“小球做上抛运动”的视频 $x(t)$ ；整个视频有10秒钟；前五秒上升，后五秒下降；
- 一方面，你把视频的后半段存为 $x_1(t)$
- 另一方面，你把前五秒的视频进行回放，存为 $x_2(t)$
- 现在你比较这两个视频 $x_1(t)$ 与 $x_2(t)$ ，会发现它们完全一样。
- 由此知，整段视频 $x(t)$ 在 $t=5$ 时具有“时间反演对称”。
小结：
- 在某时刻对物体进行“时间反演”操作（即运动过程视频回放），也就是物体的“坐标不变，速度反向”。
- 如果“坐标不变，速度反向”后，物体沿着原来的轨迹返回去，就具有“时间反演对称性”。

从上述回放的例子不难理解，对一个运动的物体进行“时间反演”（即视频回放）操作后，物体坐标不变，速度反向：

$\bf{x}\rightarrow \bf{x}; \bf{v}\rightarrow -\bf{v}$

物理学中，物体的运动用牛顿第二定律，即方程
$m\frac{d^2 \bf{x}} {dt^2}=\bf{F}$
来描述。给定一个系统（即给定受力情况 $\bf{F}$ ）并加上初始条件，则该质点的运动规律就确定了。

设该方程的解为 ${x}(t)$ 。若其“回放”运动——即 ${x}(-t)$ ——也是该方程的解，那么我们说该系统具有时间反演对称性。
Alternatively（此处汉语词穷了，汗），若能证明在时间反演（即 ${x}\rightarrow {x}$ 、 ${v}\rightarrow -{v}$ ）下， $\bf{F}$ 不变，则方程的解也不变，同样也说明该系统具有时间反演对称性。

例子1: 静电场中的运动电荷
设电荷的质量m，电量q，外电场 ${E}({x})$ 。
则运动方程为 $m\frac{d^2 {x}} {dt^2}=q{E}({x})$ ，
显然，在时间反演（即 ${x}\rightarrow {x}$ 、 ${v}\rightarrow - {v}$ ）下， $\bf{F}$ 不变。系统具有时间反演不变性。
- 结论：静电场中运动的电荷，时间反演不变。事实上，某瞬间，你忽然让电荷的速度反向，它会沿着原来的轨迹回去。
例子2: 磁场中的运动电荷
设电荷的质量m，电量q，外磁场 ${B}({x})$ 。
电荷受到洛伦兹力，做圆周运动，
运动方程为 $m\frac{d^2 {x}} {dt^2}=q{v}\times {B}$ ，

显然，在时间反演（即 ${x}\rightarrow {x}$ 、 ${v}\rightarrow -{v}$ ）下，外力（洛伦兹力）方向反向。系统不具有时间反演对称性。
- 结论：事实上，磁场中的运动电荷，某瞬间，你忽然让电荷的速度反向，它不会沿着原来的轨迹回去。
例子3: 有摩擦力的运动物理（质量m，摩擦系数 $\mu$ ，摩擦力 ${f}$ 与运动方向相反）。
运动方程为 $m\frac{d^2 {x}} {dt^2}= {f}$
显然，在时间反演（即 ${x}\rightarrow {x}$ 、 ${v}\rightarrow - {v}$ ）下，外力摩擦力的方向会反向（因为摩擦力的方向总与运动速度方向相反）。系统不具有时间反演对称性。