矩阵论（一）线性空间与线性变换

前言

本人的矩阵论是在[东南大学] 研究生课程工程矩阵理论进行学习，总结参考了b站的同学：数学家是我理想 的博客：mathor
总结不会将所有知识点都罗列出来（实在是太耗时了），只总结一些重要的知识点。

第一节线性空间的定义

线性空间是定义在数域 $\digamma$ 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。
数域的定义：

数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域 Q，复数域C，实数域 R。

线性空间的性质：

设 V是以 $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$ 为元素的非空集合， $\digamma$ 是一个数域，定义两种运算：加法: $\forall\alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V$ ；数乘 : $\forall k\in \digamma, \alpha \in V, k\alpha\in V$ 。V是数域 $\digamma$ 上的线性空间的充要条件是以下八条。只要任意一条不满足，则不成立。
1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
2. $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
3.零元素在V中有一元素 0（称作零元素，注：该 0 为向量），对于V中任一元素 $\alpha$ 都有 $\alpha+0=\alpha$
4.负元素对于V中每一个元素 $\alpha$ ，都有V中的元素 $\beta$ ，使得 $\alpha+\beta=0$ ，其中，0 代表的是零元素，但不一定永远都是 0 这个数，视具体题目而定
5. $\alpha\cdot1=\alpha$ ，其中1是数，不是向量
6. $(\alpha l)k=\alpha (lk)$
7. $\alpha(k+l)=\alpha k+\alpha l$
8. $(\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k$
注： $\alpha,\beta,\gamma\in V,1,k,l\in\digamma$

第二节基，维数和坐标

基的定义：

若 $\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\in V$ 满足条件：
1） $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关
2） $\forall \eta\in V$ 均可有 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性表示，则称 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基。
称 $n$ 是 $V$ 的维数，计作 $dimV$ 或维（V）

注：线性空间的基不一定存在

定理：若 $dimV=n$ ,则 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量均构成 $V$ 的基

坐标的定义：

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基， $\beta\in V$ , $\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n$ 则称 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的坐标。
或 $\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array} \right]$ 是 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的坐标。（列向量）

注：线性空间的基是有序的。

过渡矩阵：

设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 及 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 都是 $V$ 的基，有 $(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A$ 则称A为从基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的过渡矩阵。

注：A一定为可逆矩阵。

坐标变换公式：

设 $\eta\in V$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下的坐标为 $X$ ,在基 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下的坐标为 $Y$ ,而从基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则 $X=AY$ 或 $Y=A^{-1}X$

证明：

$\eta=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)X$ $\eta=(\beta_1,\cdots,\beta_n)Y=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)AY$ 显示有 $X=AY$

例：在 $F_3[x]$ 中，求 $f(x)=1+x+x^2$ 在基 $2+x,x+x^2,2x+3x^2$
的坐标。

解： $f(x)=(1,x,x^2) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$ ，得到f(x)在基 $(1,x,x^2)$ 下的坐标 $X$ 为(1,1,1)
$(2+x,x+x^2,2x+3x^2)=(1,x,x^2) \left[ \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 1&1&2\\ 0&1&3 \end{array} \right]_A$
得 $f(x)$ 在基 $2+x,x+x^2,2x+3x^2$ 的坐标 $Y=A^{-1}X=\left[ \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 1&1&2\\ 0&1&3 \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$

第三节子空间交与和

子空间：

定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间， $W$ 是 $V$ 的非空子集，若 $W$ 关于 $V$ 的运算也构成 $F$ 上的线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的子空间，记 $W\subseteq V$ 。

基扩张定理：

设 { $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ }是 $V^n$ 中一组线性无关向量，则 $V^n$ 中存在 $n-r$ 个向量 $\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\cdots,\alpha_n$ ，使得 $\left\{ \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\cdots,\alpha_n\right\}$ 构成 $V^n$ 的基

注：1.设 $W\subseteq V$ ，则 $W$ 是 $V$ 的子空间 $\Leftrightarrow W$ 关于线性运算封闭。
2.子空间一定含零向量。

子空间的交与和：

定义：
$V_1\cap \V_2 = \{ \eta\in V|\eta\in V1且\eta\in V2$ }
$V_1+\V_2 = \{ \eta\in V| \exists\eta_1\in V1,\eta_2\in V2,使得\eta=\eta_1+\eta_2$ }

维数定理：

假设 $V_1,V_2\subseteq V$ ，有 $dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV2-dim(V_1\cap V_2)$

直和:

定义：
设 $V_1+V_2$ 中的任一向量只能唯一地分解为 $V_1$ 中的一个向量与 $V2$ 中的一个向量之和，则称 $V_1+V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和，记为 $V_1\bigoplus V_2$ .

直和的性质：

设 $V_1，V_2$ 是线性空间 V的两个子空间，则下列命题等价：
1. $V_1+V_2$ 是直和
2.0的分解唯一
3. $\V_1\cap\V_2=\{0$ }
4. $dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV2$
5. $V_1，V_2$ 的基合在一起构成 $V_1+V_2$ 的基

直和的一般证明方式：
设 $V_1，V_2$ 是线性空间 V的两个子空间,要证明 $V=V_1\bigoplus V_2$ 分为两步：
1. $V_1+V_2$ 是直和，通常用 $V_1\cap V_2=\{0$ }证明
2.证明 $V=V_1+V_2\Leftrightarrow V\supseteq V_1+V_2,V\subseteq V_1+V_2$ 。
$V\supseteq V_1+V_2$ 不证自明， $V\subseteq V_1+V_2$ 则通过 $\forall \eta\in V$ ，找出关于 $\eta$ 的在 $V_1$ 和 $V_2$ 的子空间向量,即能得证。

第四节线性映射

线性映射

线性映射的定义：

设 $V，U$ 均是数域 $F$ 上的线性空间，其映射 $f:V\rightarrow U$ 满足条件:
1)齐性： $\forall x\in V,k\in F,f(kx)=kf(x)$
2)可加性： $\forall x,y\in V,f(x+y)=f(x)+f(y)$
则称 $f$ 是从 $V$ 到 $U$ 的线性映射。

注：从 $V$ 到 $U$ 的线性映射全体记为 $Hom（U,V）$ 。
从 $V$ 到 $V$ 的线性映射称为 $V$ 上的线性变换。

线性映射的性质：

假设 $f:V\rightarrow U$ 是线性映射，则
1. $f(0)=0$ ;
2.若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s\in V,k_1,k_2,\cdots,k_s\in F$ ,则 $f(\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^{n}k_if(\alpha_i)$
3.若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s\in V$ 线性相关， $f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s)\in U$ 线性相关。
4.若 $V=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$ ，则 $f$ 的值域 $f（V）=L(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))$
5. $f^{-1}(\theta)=\{x\in V|f(x)=0$ }是V的子空间，称为f的核子空间。

基偶：

设 $f\in Hom(V,U)$ 选定基偶：
$V:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$
$U:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$
若 $(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)A$
则称A是f在选定基偶下的矩阵。
如U=V，则
$(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A$
称A是线性变换f在所选基下的矩阵。

例： $f\in Hom(F^{2\times 2},F^{2\times 2})$ 定义为： $f(x)= \left( \begin{array}{cc} a-3b & b+2c \\ a-b-c &a+b-3c+4d \end{array} \right )$ 其中 $X= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c &d \end{array} \right )\in F^{2\times2}$ 求f在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩阵。

解： $f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22})=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A$

定理：若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶V: $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,U:\beta1,\beta2,\cdots,\beta_n$ 下的矩阵是A， $\eta\in V$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的坐标是X，则f( $\eta$ )在基 $\beta1,\beta2,\cdots,\beta_n$ 下的坐标是AX。

证明： $(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_n))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A$
令 $X=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots x_n\end{array}\right)$ 则 $\eta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s$
$\because f$ 为线性映射，
$f(\eta)=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_sf(\alpha_s)\\ =(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots x_s\end{array}\right)\\ =(\beta_1,\cdots,\beta_2)AX$
证毕。

核子空间

定理： $假设f\in Hom(V,U)\\则 dimR(f)+dimK(f)=dimV$

不变子空间

$设f\in Hom(V,V),W\subseteq V，若\forall\eta\in W，有f(\eta)\in W$ 则称W是f的不变子空间。

$设f\in Hom(V,V)，则R(f),K(f)均是f的不变子空间。$

若 $f\in Hom(V,V),V可以分解成f不变子空间的直和。$

习题

设 $A,B\in F^{n\times n},且AB=0,B^2=B$
$V_1=\left\{ x|Ax=0,x\in F^n \right\} V_2=\left\{ x|Bx=0,x\in F^n \right\}$ ,证明：
（1） $F^n=V_1+V_2$
(2) $F^n=V_1\bigoplus V_2$
证:(1): $由题意得：F^n\supseteq V_1+V_2$
$\forall x\in F^n,x=Bx+(x-Bx)$
$Bx\in V_1,(x-Bx)\in V_2$
$\therefore F^n\subseteq V_1+V_2$
$\therefore F^n=V_1+V_2$
(2) $将V_1，V_2看成齐次线性方程组的解空间$
$\Rightarrow dimV_1=n-r(A),dimV_2=n-r(B)$
由 $V_1+V_2是直和$
$\begin{align} &\Leftrightarrow dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2\\ &\Leftrightarrow dim(F^n)=2n-r(A)-r(B)\\ &\Leftrightarrow n=2n-r(A)-r(B)\\ &\Leftrightarrow r(A)+r(B)=n\end{align}$