我们先来思考一个小问题：
Rex和Hulk两人猜拳，规定连续两局不能出的一样，在我们都十分理智的情况下（一般也是如此），第一把是剪刀平局，最后会如何？
说起博弈论（game theory），我就会想到各种各样的“智力游戏“，它们往往能让我一番推理之后恍然大悟，感觉以后或许可以用上（并不）。
这里提到的博弈论，是现代数学的一个分支，它和我们日常面对的，今晚吃啥这类选择题完全不同。博弈论总是以参与者绝对理性为前提，它可能看起来很贴近生活，有很多细节和可能性，但问题里的骨架却是封闭的，这是一门十分严谨的科学。
纳什均衡
纳什均衡（Nash equilibrium）由美国数学家纳什提出，在多人博弈的时候，如果其他人不改变策略，不论我怎么改变也不能增加收益，所有人都是这样，也就达到了纳什均衡。换句话说，纳什均衡实现了整体利益的最大化。
想要达到纳什均衡，找到整体最优的方案，最重要的一点就是共享信息。
我们拿出最为著名的囚徒困境举例：
警察抓了两个嫌疑犯，在他们没有事先串口供的情况下，分开审问。如果两个罪犯都沉默，各判1年；互相揭发，各判8年；如果一个揭发一个沉默，那么揭发的那个释放，沉默的那个判10年。AB怎么选择才对自己最有利？
直接看表：
A沉默A揭发B
B沉默A、B各1年A释放，B判10年
B揭发AA判10年，B释放A、B各8年
细细品味这个表，不难发现：
对于A来说，B如果沉默，A应该选择揭发B（A会被释放），B如果揭发A，A还是应该揭发B（A会被判8年而不是10年），所以A应该揭发B。对于B来说也是一样。
由于A，B事先没有沟通预谋，在不知道对方怎么选择的情况下，显然最优方案就是互相揭发，于是警方成功判了两个犯人8年。这就是囚徒困境的正常形式。
到这里事情好像就结束了，然而，如果审问并不是分开进行，而是二人一起，结果又会如何呢？
我们也来看一看。
开始时A，B两人互不吭声，马上，在明确了对方暂未交待的情况下，A有两种选择：
1. 揭发B，如果沉默B会被判10年，所以B也会揭发A，结果两人都判8年；
2. 保持沉默，这时B如果揭发A，会形成1里的结果，所以B应该选择更好的方案，也就是同样保持沉默。这样一来，两人各判1年。
稍作思考，A选择了沉默，B当然也做出同样的分析。最后两人只被各判1年，整体的纳什均衡达成。
由此可见，纳什均衡的达成需要足够的信息，如果信息不足，人往往就会做出损人利己的次优选择，而错过利于大局的最优方案。
多阶信息
我们已经知道，掌握更多信息才能知己知彼，百战不殆，但不是所有信息都那么直白，有时候看似无用的信息背后还有我们需要的东西。
为了更直白的感受到这一点，让我们回到文章开头的猜拳问题：
第一把我和Hulk都出了剪刀，这是我知道的第一条信息，好像没有什么卵用；
然后呢？根据规则，我知道下把我只能出锤子或者布，这是其二；
同样，我知道Hulk下一把也只能出锤子或者布，这是第三条。
由于我和Hulk都只能出锤子或者布，出哪一个更好呢？答案是绝对的，布赢锤子，出布！终于理顺了，但这还不是最终答案。
同样地，Hulk也想到了这一点。按理来说，下一把我和Hulk都应该出布。聪明的我俩在出完剪刀之后就立即推理出了这一点。
现在，我知道Hulk得到了这个结论，Hulk也知道我得到了相同的结论。更进一步，我也知道Hulk知道我得到了这一结论。之后，我们就像两台运行着一模一样程序的超级电脑，陷入了一种“知道”的循环，那就是我知道Hulk知道我知道…Hulk知道下一把我俩都应该出布，这是横向推理。
竖向推理，我可以推出第三把我们都应该出石头（Hulk也会这样推理，他也知道我知道），第四把出剪刀，第五把出布，第六把石头…
好了！既然这样，游戏的整个走势在第一把出完剪刀之后就已经完全确定了，不仅因为我俩各自推出了结论，还因为我们知道对方也知道了这个结论。
所以谁也不能获胜，第一把是平局的话游戏就没有进行的必要了，聪明的我俩压根不会进行第二轮划拳。这个决定，仅凭前三条信息是得不出来的，也就是说，我知道这些还不够，我还得知道“他知道”。
在这个小问题里，前三条信息我们看作是一阶信息（我直接知道的事），而“我知道Hulk知道xxx”，是一个二阶信息。以此类推，“我知道他知道我知道xxx”是三阶信息，但是游戏一共只有两人参加，所以大于二阶的信息和二阶是等效的。
当然，你也可以试着分析不同情况下，囚徒困境里的信息阶数。
共识
如果你已经完全理解了多阶信息的意思，那我们就可以开始最后一个问题的推理了（难）。
蓝眼人问题：
有一个岛上住着1000个岛民。其中900个是红眼，100个是蓝眼。岛上的人无法知道自己眼睛的颜色，也不准谈论眼睛的颜色。出于宗教原因，岛民一旦知道自己眼睛的颜色，就会在第二天自杀。一天，岛上来了一个蓝眼睛游客，由于不知道岛上的规矩，他在一次全岛民的聚会中说：“很高兴看到这里有和我一样是蓝眼睛的人。“
假设岛民足够聪明, 具有完全理性，游客的话会产生什么后果？
有了前面的基础，我们直接跳到逻辑里去。
假如我是其中一个蓝眼人1号，通过互相观察，我可以知道2号是蓝眼，2号也可以知道3号是，3号知道4号…这些是一阶信息；接着我也知道2号知道3号是蓝眼，这是二阶；一直往后，我能知道2号知道3号知道…知道100号是蓝眼，这是99阶信息。
怎么少了一阶？因为“100号知道我是蓝眼“是我无法确定的事，毕竟我不知道自己眼睛的颜色。但是我能肯定其他99个人都能看到至少98个蓝眼人，只是他们暂时不知道自己也是蓝眼人。
这时推理就开始了。
假如岛上只有1个蓝眼人（与事实不符），游客说完话之后他也就知道了自己眼睛的颜色，那么他会在之后一天自杀，自杀由一阶信息导致。
如果有2个（与事实不符），一天后他们会观察对方是否自杀，如果对方自杀，那么他是唯一的蓝眼人，理由同上；如果不是，说明对方还看到了一个我没看到的蓝眼人，那这个蓝眼人只可能是我自己！于是“我知道了他知道我是蓝眼人“这个二阶信息，两人可以做出同样的推理，于是第二天两人一起自杀。
我杀我自己 。我们用的是蓝眼~ credit： B站up主 薛定饿了吗
如果有99个蓝眼人（与我看到的相符），99天后还是无事发生，这时我获得了一个一百阶信息，那就是“2号知道3号知道…知道100号知道我（1号）是蓝眼人“！其他99人可以做出同样的推理，这时100个蓝眼人都确定了自己眼睛的颜色，于是在第100天一起自杀，这也就是问题的答案。
到这里，我们终于做完了所有的思考题，兴奋之余，我们把不同阶数的信息做一个分类。
如果有 n 个人，每个人都知道的 n 阶信息被叫做 Common knowledge（袁岚峰博士译作强共识），少于 n 阶的信息被叫做 Mutual knowledge，译作弱共识。
在蓝眼人问题里，游客说话之前，“岛上有蓝眼人“在100个蓝眼人圈子里还是一个弱共识，只有99阶，即大家都知道，但不确定别人知不知道自己；游客说话之后第99天，这句话变成了强共识，这时大家都知道所有人的眼睛颜色。所以游客带来的信息是一个99天后才能获得的，高达100阶的信息。
这个故事也告诉我们，只要善于挖掘信息背后的信息，就可以准确推算出自己去世的时……好像不太对？
##阅读原文，看看袁岚峰博士是怎么解释蓝眼人问题的
参考资料
https://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory
https://www.youtube.com/watch?v=27GIGEygzyo
https://en.wikipedia.org/wiki/Mutual_knowledge
https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium
https://www.bilibili.com/video/av30113899/
