应用初中数学破解高考数学题：『二次项钻石』

前言

数学的学习中，除了正式的定理和公式，还有一些常用结论和解题经验。经常总结这些经验，对于提高解题能力是很有帮助的。

在初中数学中我们学过以下公式：

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$

以上两个公式涉及4个相互关联的量，为了方便记忆，我们可以用一个菱形来表示，还可以起个好听的昵称：『二次项钻石』。

从以上公式，可以得出4组有用的推论。

$(x^2+y^2)+2xy=(x+y)^2$

$(x^2+y^2)-2xy=(x-y)^2$

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$

$(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$

$(x+y)^2 -2xy = (x^2+y^2)$

$(x+y)^2 -4xy = (x-y)^2$

$(x-y)^2 +2xy = (x^2+y^2)$

$(x-y)^2 +4xy = (x+y)^2$

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$

前面的4组公式可以概括性地这样描述：在上图的4个量之间存在密切的关联；如果已知条件中包括其中的两个量，则另外的两个可以方便地求出。

这里的4组公式全部是从完全平方公式推出，如果单独写出，显得平淡无奇。然而，这4组公式如果和函数与方程的思想结合，就能够解决高中数学的不少问题，甚至是一些“难题”。

在面对具体问题的时候，有很多学生会被卡住，感觉 “没有思路”。希望上面的这个「二次项钻石」，能够帮助大家找到思路。

“老师！你前面讲的其实就是初中的内容，太容易了。重复这些简单的东西有什么用呢？” 我相信不少同学会有这样的想法。
我的回答是：熟悉这些简单的公式，就有可能把一些看似复杂的问题变得简单。这样的例子在高中数学中有很多。一两句话说不清，所以我打算用N篇文章来介绍。