四．实数系．
实数系就是有理数系的扩充。我们说任何一个有理数(a/b)是可公度的，但人们发现存在不可公度线段，或者说，如果我们认为毎一线段对应着借助于单位长度给出的一个数，则不可公度线段所表示的数叫无理数，这样的数在数轴上是存在的。我们以一个正方形的对角线的长度为例。假设正方形的边长为单位长，对角线长为x，根据勾股定理，我们有x𠆢2＝2，则x＝（根号下2）．如果x与1是可公度的，则可以找到两个互质的整数p、q，使得x/1＝p/q，即 (根号下2）＝p/q，那么p𠆢2＝2·q𠆢2，可以得出p为偶数．又设p＝2k，则q𠆢2＝2·k𠆢2，那么q也是一偶数，这与p、q互质矛盾，所以不存在互质的整数p、q使得 (根号2)＝q/p，即(根号2)不是有理数。我们把这样的数称之谓无理数．如果用尺规在数轴上标出这样一个线段，则这样作出的点不可能与任何有理点重合，如下图(图略)，从直观上来看 无理数(根号2)存在数轴上，又不等于任何有理数是不好理解的。因为有理点全体虽然是处处稠密的，且能覆盖整个数轴，因此人们研究发现整个数轴是由有有理点和无理点覆盖的，即数轴的数是由无理数 和有理数构成的，我们称之谓实数系．有理数系虽然是处处稠密，但在数轴上不具备连续性，无论相邻的两个有理数构成的区间有多小，总是间断的，无理数就像粘合剂，使数轴上的点连续不断，所以实数系是具备连续性的数系。实数的连续性是近代分析数学研究的基础，是 建立在实数的连续性上的。
在概念上和研讨方法上，由有理数系到实数系是一个大幅度的跃进，是数学发展史上的一次革命。在人类理性文明的发展史中，这一跃进发生于公元前五至四世纪古希腊几何学家在对定量几何基础理论的深入研究中，由度量长度而产生的可公度性的问题。在这里，我们把里欧索斯(Eudoxus)和希帕索斯(Hippasus)对于人类理性文明的重大贡献作一简朴明确的叙述：
