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题目描述

leetcode 第115题：不同的子序列
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
示例：
输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)
babgbag
^^ ^
babgbag
^^ ^
babgbag
^ ^^
babgbag
^ ^^
babgbag
^^^

解题方法

动态规划
参照题解

• 状态转移方程

s[i] == s[j] dp[i][j] = dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]
s[i] != s[j] dp[i][j] = dp[i+1][j]

• 临界条件

dp[i][n] = 0

• 枚举状态

dp[i][j]

• 解题思路

获取字符串s和t的长度分别的m和n
如果m<n，表示t一定不是s的子序列，直接返回0
接下来使用动态规划来计算s的子序列t出现的个数
创建二维数组dp，元素值都为0，考虑到边界，dp的行数和列数分别为m+1和n+1
dp[i][j]表示s中后i个字符串可以由t中后j个字符串组成的最多个数
当j=n时，t[j:]为空字符串，此时s中任何s[i:]都可以由t[j]组成，所以dp[i][n]=1
接着在[m-1,-1)和[n-1,-1]中倒序遍历
根据状态转移方程，当s[i]等于t[j]时，dp[i][j]=dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]
反之，dp[i][j]=dp[i+1][j]
最终得到dp[0][0]就是在s的子序列中t出现的个数

• 图解

不同的子序列.jpg

• 复杂度

时间复杂度：O(mn)，m和n分别是字符串s和t的长度
空间复杂度：O(mn)，m和n分别是字符串s和t的长度

• 代码实现

python3

class Solution:
    def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
        m,n = len(s),len(t)
        if m<n:
            return 0
        dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(m+1):
            dp[i][n] = 1
        for i in range(m-1,-1,-1):
            for j in range(n-1,-1,-1):
                if s[i]==t[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j]
        return dp[0][0]

php

class Solution {
    function numDistinct($s, $t) {
        $m = strlen($s);
        $n = strlen($t);
        if($m<$n){
            return 0;
        }
        $dp = array_fill(0,$m+1,array_fill(0,$n+1,0));
        for($i=0;$i<=$m;$i++){
            $dp[$i][$n] = 1;
        }
        for($i=$m-1;$i>=0;$i--){
            for($j=$n-1;$j>=0;$j--){
                if($s[$i]==$t[$j]){
                    $dp[$i][$j] = $dp[$i+1][$j+1]+$dp[$i+1][$j];
                }else{
                    $dp[$i][$j] = $dp[$i+1][$j];
                }
            }               
        }
        return $dp[0][0];
    }
}