五．复数系
1．复数的定义
在数系的逐步扩张中，不论在概念的跳跃上和所设及的方法论和技术上，从有理数系到实数系这－步都是跨得最大也是涉及内容最为复杂的。相比起来，由实数系到复数系这一步要简单得多．本质上只引进一个平方为－1的虚数单位i，然后用简单的代数公式定义所有能够表示成a＋bi（a、b属于R）的复数之间的加法和乘法，即
(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
很容易用直接验算的方法来证明，这种扩大的数系C依然满足加法、乘法的交换律、结合律和分配律。而且，当a、b不全为零时，(a＋bi)·(a－bi)＝a𠆢2＋b𠆢2
实际上，复数的引入起始于于解－元二次方程ax𠆢2＋bx＋c＝0；在亼＜0时，上述二次方程无实根，若引进复数，即i𠆢2＝－1，则二次方程的解恒可用公式：(略)表示
2．复数的几何解释
这个几何解释就是把复数Z＝x＋yi简单地用平面上直角坐标系中的坐标x、y的点来代表Z．Z的实部是它的横坐标x，虚部是它的纵坐标y．实际上复数就是平面上的坐标点，如图所示(图略)。
复数具有以下性质：Z＝x＋yi，(Z共扼)＝x－yi；p𠆢2＝x𠆢2＋y𠆢2＝(x＋yi)·(x－yi)＝Z·(Z共扼)；实数p＝根下(x𠆢2＋y𠆢2)称为Z的模．记p＝丨Z丨．如果令x＝PcosQ、y＝sinQ，则Z＝p(cosQ＋isinQ)这是复数的三角表达式．由此我们得出两个复数相乘Z·Z’＝P·P’［(cosQ·cosQ’－sinQ·sinQ’)＋i(cosQ·sinQ’＋sinQ·cosQ’)］＝P·P’［cos（Q＋Q’)＋isin(Q＋Q’)］，即等于模相乘，复角相加．如果令Z＝Z’，则Z𠆢2＝p𠆢2·(cos2Q＋isin2Q)；Z𠆢3＝p𠆢3·(cos3Q＋isin3Q)；⋯；Z𠆢n＝p𠆢n·(cosnQ＋isinnQ)．
在单位圆中，p＝1，则(cosQ＋isinQ)𠆢n＝cosnQ＋isinnQ，这就是著名的棣莫弗公式．
利用棣莫弗公式：cos3Q＋isin3Q＝(cosQ＋isinQ)𠆢3，将右边3次方展开，再由复数的性质：两复数相等，则实部与虚部分别相等，所以，cos3Q＝cosQ𠆢3－3cosQ·sinQ𠆢2；sin3Q＝3cosQ𠆢2·sinQ－sinQ𠆢3
利用sinQ𠆢2＋cosQ𠆢2＝1，我们得到：cos3Q＝4cosQ𠆢3－3cosQ；sin3Q＝－4sinQ𠆢3＋3sinQ
3．棣莫弗公式和单位根
一个数a的n次方根是一个使得b𠆢n＝a的数b．特别是1有两个平方根，因为1𠆢2＝(－1)𠆢2＝1．数1只有一个实的立方根，但它却有四个4次方根：实数1和－1，虚数i和－i．这些事实使我们想到，在复数域1可能还有两个立方根，从而总共有三个，从棣莫弗公式立刻可以说明这一点．
在复数域中，1恰有n个不同的n次方根．它们可以用单位圆的一个内接正n边形的顶点来表示，Z＝1是其中之一
多边形的第一顶点是1，下一个是a＝cos360/n＋isin360/n，由棣茣弗公式可知a𠆢n＝1，可见1，a，a𠆢2，a𠆢3，⋯，a𠆢(n－1)都是x𠆢n＝1的根．如果n是偶数，则正n边形有一个顶点在点－1处，这同－1是1的n次方根这个代数事实相符．方程x𠆢3＝1的求解能说明这一点。
