对整个学期（2021学年）的教研内容“源初自明性”和“逻辑自明性”有了一定的理解之后，再去准备四下的课程，就有一股抑制不住的兴奋。大脑快速运转，之前所经历过的一切仿佛都被串了起来。但很不幸，在执行课程的过程中，自己又再次被打败，经过一次深刻教研，我也再次认识到自己对本章观念的逻辑自明性并不是很清楚，而要将四则运算的源初自明性和逻辑自明性很好地在课堂上落实，并非易事！于是，调整、总结、与儿童共同成长，我们的故事也就此展开……

首先，加减法运算的本质含义是什么？

对于多数儿童而言，加减法仅仅是一个具体的算式或与生活情境相对应的具体故事而已，他们并没有对“运算本身”的反思。其实这个问题问我们的大人，很多人也会和孩子有一样的反应：加减法就是加减法，算就好了，有什么道理可讲？就是因为缺少了从发端处的不断追问，儿童对运算本质的理解其实是碎片化的，不成系统的，甚至是机械的，带有某种偏见的。这其实不能怪孩子，在孩子进入小学，第一次接触加减法学习的时候，我们并没有从观念的原初自明性出发，去不断追问，所以从一开始加减法对于儿童而言就是毫无道理可讲的。

但在贞元学校，孩子们会像历史上的先民一样，像数学家一样，在大量的动作操作中，感受加减法的运算本质。

孩子们在大量的棋子拆分游戏中已经认识到，加法就在表示“合并”这个动作，而减法就是在表示“拆分”这个动作。

数轴游戏中，如此清晰自明的向前跳的过程，就是不断“+1”的过程；与之相反的动作，不断向后跳的过程，就是不断“－1”的过程。

而此刻，小贝壳的孩子们已经四年级了，我们不可能再回到一二年级的游戏中去，但儿童的生活经验已经促使他们可以很好的理解“合并”“拆分”分别意味着什么，于是借助文字语言，图形语言，符号语言的系统描述，孩子们其实依然可以非常好地理解加减法运算的本质含义。

面对算式“5+4”我们该如何理解呢？可以将其看成是两个集合的合并，“5”和“4”分别代表两个集合中元素的个数，而“+”就表示将这两个集合合并起来，变成一个更大的集合。于是好玩的事情就出来了，我们既可以用集合A与集合“B”合并，也可以反过来，用集合“B”与集合“A”合并，这不就是“加法交换律”吗？

别急着这么快就出结论，是否能在数周上解释加法的本质含义呢？仍然是算式“5+4”，在数轴上又该如何表示呢？既可以先在从原点“0”开始向右跳4个“1”，跳到数字“4”的位置，然后从数字“4”的位置继续向右跳5个“1”，跳到了数字“9”的位置，一共从原点开始，向右跳了9个“1”；当然还可以在先从原点“0”开始向右跳5个“1”，跳到数字“5”的位置，然后从数字“5”的位置继续向右跳4个“1”，跳到了数字“9”的位置，一共从原点开始，向右跳了9个“1”。如此自明的图形语言与儿童的已有经验紧密相连，加法的另外一个含义就是不断“+1”的过程，而孩子们也再次欢呼，两个加数的位置互换，会改变跳数周的顺序，但最终的结果并不会发生变换。

孩子们还可以举出一系列满足这样规律的加法算式：4+3=3+4；5+7=7+5；0.1+2.3=2.3+0.1……

既然这是一种普遍适用的规律，那我们就用字母将其表示出来，来表示这种规律的一般性吧！（其实在现阶段儿童的眼中，这些字母都是具体的数。孩子们还没有能力去追问字母表示数的任意性，任意性受限是在一定范围内的任意，但儿童对数的认识还仅仅停留在自然数范围内，他们还需要在之后的学习中去不断扩充自己的数系，此刻的字母表示是在为将来儿童更好的形式化做好准备，所以不能一上来就给孩子出字母表达式，而是在儿童充分理解运算本质含义的基础上的创造性归纳总结，并且要让儿童自己举出实例来亲身感受这种规律的普遍性。）

     加法交换律：交换加数的位置,和不变。

如果是三个加数相加呢？因为有了对运算本质含义的充分理解，儿童已经完全可以借助“集合的合并”或“跳数轴”的过程，将加法结合律的合理性解释得清清楚楚，这是扎根于儿童已有经验中的，充分自明的理解。当然建构的历程依然是从特殊到一般的表达。

加法结合律：三个数相加，先算前两个加数，或者先算后两个加数，和不变。

那么减法的本质含义又是什么呢？仍然是要回到动作中去。与合并的动作相对，拆分表示的就是减法的本质含义。算式“12－6”就表示，从元素个数为12的大集合里拿走元素数量为“6”的小集合，还剩下多少？

当然也可以用数轴表示，从数字12的位置，向左跳6个“1”，跳到的新位置。

加减法之间的互逆关系——“a-b=c  a-c=b   b+c=a”就不仅仅是客观的推理，而是深深藏在儿童动作经验中的自明性体验。任何一个减法算式都对应着一个减法算式和一个加法算式。

那么减法运算本身是否也具有某种运算规律呢？孩子们很容易就能在连减算式中发现将两个减数合并之后再与被减数相减，最终的结果不变。

但我们并不满足于这样的客观推理，孩子们结合集合图给出了这样的解释：从大集合A中分别拿走2个小集合，或者将两个小集合先合并再从大集合中拿走，拿走的顺序并不影响拿走的总数量，大集合中的剩余量是不变的。

当然，也可以用数轴解释这种操作的合理性。

用字母表示出这种一般性，有了对减法运算本质含义的理解，“a－b－c=a－c－b”又有什么不可以呢？

孩子们非常想将这种规律也命名成减法的交换律或减法的集合律，但因为在减法算式中，我们并不能像加法一样随便改变运算顺序，加了括号之后运算符号也需要改变，这些细微的差异必须引起我们的重视，所以，还是将其一并命名为减法独有的性质，就叫减法的性质吧！

此，我们完成了加减法性质的探索，接下来的乘除法性质探索中，孩子们将面对更深入的思考，更好玩的性质探索旅程，一起期待吧！