一、结论

1. 矩阵的列空间是整个的要求，意味着至少有列，即。否则，列空间的维数会小于。

2. 如果一个矩阵的列空间涵盖整个，那么该矩阵必须包含至少一组m个线性无关的向量。这是式对于每一个向量的取值都有解的充分必要条件。值得注意的是，这个条件是说该向量集恰好有个线性无关的列向量，而不是至少个。

3. 不存在一个维向量的集合具有多于个彼此线性不相关的列向量，但是一个有多于个列向量的矩阵有可能拥有不止一个大小为的线性无关向量集。

4. 要想使矩阵可逆，我们除需要矩阵有个线性无关的列向量外还需要保证式对于每一个值至多有一个解。为此，我们需要确保该矩阵至多有个列向量。否则，该方程会有不止一个解。

5. 一个列向量线性相关的方阵被称为奇异的（singular）。如果矩阵不是一个方阵或者是一个奇异的方阵，该方程仍然可能有解。但是我们不能使用矩阵逆去求解。

6. 如果逆矩阵存在，那么式肯定对于每一个向量恰好存在一个解。但是，对于方程组而言，对于向量的某些值，有可能不存在解，或者存在无限多个解。存在多于一个解但是少于无限多个解的情况是不可能发生的。

7. 如果矩阵可逆，则方程一定有且仅有一个解。（注意可逆是充分不必要条件）

注：
①是一个矩阵，其形状为。和分别是维度为和的向量。矩阵可以看成个维向量的集合。即为的列向量的线性组合，组合的系数即为中的各元素。
②一组向量的生成子空间（span）是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。确定是否有解，相当于确定向量是否在列向量的生成子空间中。这个特殊的生成子空间被称为的列空间（column space）或者的值域（range）。
③如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量称为线性无关（linearly independent）。

二、QA

1. Q：结论1中为什么至少要有列？
   A：假设是一个3×2的矩阵。目标是3维的，但是只有2维。所以无论如何修改的值，也只能描绘出空间中的二维平面。当且仅当向量在该二维平面中时，该方程有解。

2. Q：结论3中为什么说一个“不存在一个维向量的集合具有多于个彼此线性不相关的列向量”？
   A：由结论2可知如果一个维向量的集合拥有个彼此线性不相关的列向量，则这些列向量的线性组合可以覆盖中的任何一点，所以如果有个彼此线性不相关的列向量，则多出来的1个列向量一定可以由前个列向量线性表示。

3. Q：结论4中为什么需要矩阵最多有个列向量？
   A：如果矩阵既有个线性无关的列向量且的列向量个数大于,则由结论3可知可能拥有不止一个大小为的线性无关向量集，每个线性无关向量集都可以通过线性组合得到向量,则方程组的解一定不唯一。

4. Q：如何解释结论7？
   A：可逆，则可解得为,如果方程解不唯一，则存在，则，所以方程有唯一解。

(参考资料：《深度学习》)