第十六讲三重积分、曲线和曲面积分

这一讲的内容主要是解决五大积分(三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分)的问题
本讲知识结构如下：
$\begin{cases} 三重积分\begin{cases}三重积分的概念与性质\\ \color{red}{三重积分的计算}\end{cases}\\ 第一型曲面积分\begin{cases}概念、性质和对称性\\\color{red}{计算}\end{cases}\\ 应用\begin{cases}几何量\begin{cases}平面区域-面积\\空间区域-体积\\空间曲线-弧长\\\color{red}{空间曲面-面积}\end{cases}\\ 重心(质心)与形心\begin{cases}平面薄片D\\\color{red}{空间物体\Omega}\\空间曲线\Gamma\\空间曲面\Sigma\end{cases}\\ 转动惯量\\ 引力\end{cases}\\ \end{cases}$

$\begin{cases} 第二型曲线积分\begin{cases}概念与性质\\平面第二型曲线积分的计算\begin{cases}基本方法-化为定积分\\\color{red}{格林公式法}\end{cases}\end{cases}\\ 第二型曲面积分\begin{cases}概念与性质\\第二型曲面积分的计算\begin{cases}基本方法-化为二重积分\\\color{red}{高斯公式法}\end{cases}\end{cases}\\ 空间第二型曲线积分的计算-\color{red}{斯托克公式法} \end{cases}$

三重积分

概念
与前面学过的定积分、二重积分相对比：定积分的几何意义是“曲边梯形”的面积，二重积分的几何意义是“曲顶柱体”的体积，到了三重积分后，由于无法画出四维的图形，所以三重积分不具备类似的几何意义，但是可以把三重积分当作计算一个密度分布和被积函数一致的实心球体的质量来理解。
普通对称性和轮换对称性
普通对称性的分析方法和二重积分的普通对称性完全一样
轮换对称性：
若对换被积区域中两个自变量的顺序而被积区域不变，则在计算三重积分的时候也对换被积函数中相应的两个自变量
比如，假设把 $x$ 与 $y$ 对调之后， $\Omega$ 不变，则 $\iiint_{\Omega} f(x,y,z)dv=\iiint_{\Omega} f(y,x,z)dv$
和二重积分的轮换对称性一样，将自变量进行轮换之后积分的难度也适合轮换之前一样，但是可以对积分两个积分进行相加或者相乘，从而达到简化被积函数的目的。
三重积分的计算
基础方法：

直角坐标系
(1).先一后二(先z后xy)
适用场景，被积区域的上曲面和下曲面在平面 $xOy$ 上的投影区域一致，此时的积分顺序为：
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$
其中 $D_{xy}$ 为被积区域在平面 $xOy$ 上的投影区域， $z_1(x,y)$ 为被积区域的下曲面， $z_2(x,y)$ 为被积区域的上曲面
(2)先二后一(先xy后z)
适用场景，积分区域 $\Omega$ 是一个旋转体
假设的旋转体的曲面方程为 $\Omega:z=z(x,y)$ ，则在这个曲面空间上的积分计算公式为
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv=\int_a^b dz\iint_{D_z}f(x,y,z)d\sigma$
其中， $a,b$ 分别为积分区域在 $z$ 轴上的下限和上限， $D_z$ 为一个与 $z$ 相关的平面

例题1(先一后二)
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega}\frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3}$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=0,y=0,z=0$ 以及 $x+y+z=1$ 所围成的四面体
先画出积分区域：

$\iiint_{\Omega}\frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3}$
$=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{0}^{1-x-y}\frac{dz}{(1+x+y+z)^3}$
$=\iint_{D_{xy}}\frac{1}{2}(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4})d\sigma$
$=\frac{1}{2}\int_0^1dy\int_0^{1-y}(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4})dx$
$=\frac{1}{8}\int_0^1(y-3)dy$
$=\frac{-5}{16}$

例题2(先二后一)
计算 $\iiint_{\Omega}e^{|z|}dv$ ，其中 $\Omega:x^2+y^2+z^2\le 1$
积分区域是一个球面，而被积函数 $e^{|z|}$ 是关于平面 $xOy$ 对称的，所以可以先算上半球面的积分
对于积分区域为球面的情况，其实既可以先二后一也可以先一后二，但是考虑到这里的被积函数中只含有 $z$ 这个变量，所以采用先二后一的积分顺序
$\iiint_{\Omega}e^{|z|}dv$
$=2\int_0^1dz\iint_{D_z}e^{z}d\sigma$
$\color{red}{(被积函数不含被积变量时，积分等于被积函数乘以积分区域的面积)}$
$=2\int_0^1e^{z}\pi(1-z^2) dz$
$=2\pi$

柱面坐标系
在直角坐标系中的先二后一的积分顺序中，若 $\iint_{D_{xy}}d\sigma$ 适用于极坐标系，则令 $\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$ ，则有
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{\Omega}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz$

例题：
计算 $I=\iiint_{\Omega}(x^2+y^2)dv$ ，其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\begin{cases}y^2=2z\\x=0\end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面与平面 $z=8$ 所围成的区域
积分区域的方程： $2z=x^2+y^2$
$\therefore I=\int_0^8dz\iint_{D:x^2+y^2\le2z}(x^2+y^2)d\sigma$
$=\int_0^8dz\int_0^{\sqrt{2z}}rdr\int_0^{2\pi}r^2d\theta$
$=\frac{1024\pi}{3}$

球面坐标系
球面坐标系适用的场合：当积分区域是球体或者锥体的时候，并且被积函数中含有( $x^2+y^2+z^2$ )或者( $x^2+y^2$ )时，计算方法为，令
$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\end{cases}$ ，则有，
$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv$
$=\iiint_{\Omega}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\theta d\varphi$

例题：
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}(x^2+y^2)dv$ ，其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ (y $\ge$ 0)与xOz平面所围成的区域
$I=\int_0^adr\int_0^{\pi}d\theta\int_0^{\pi}r^4\sin^3\varphi d\varphi$
$=\frac{2a^5}{15}\pi$

第一型曲线积分

第一型曲线积分和一元积分的区别其实就是将原来的微分dx替换成弧微分ds

若平面曲线 $L$ 由 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 给出，则 $ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$ ，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$
若平面曲线 $L$ 由参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}(\alpha\le t \le\beta)$ 给出，则 $ds=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$ ，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$
若平面曲线 $L$ 由极坐标形式 $r=r(\theta)(\alpha\le \theta\le\beta)$ 给出，则 $ds=\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$ ，且
$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$

例题
计算 $\oint_{\Gamma}|y|ds$ ，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=2$ 与平面 $x=y$ 的交线
曲线方程 $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\\x=y\end{cases}$ ， $2x^2+z^2=2$
所以曲线方程的参数方程为
$\begin{cases}x=\sin t\\y=\sin t\\z=\sqrt{2}\cos t\end{cases}$
$\therefore \oint_{\Gamma}|y|ds = \int_0^{2\pi}\sqrt{2}|\sin t|dt=4\sqrt{2}$

第一型曲面积分

与第一型曲面积分对应的是二重积分，但是也采用和第一型曲线积分同样的处理方法
$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

例题
设曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，求 $\iint_{\Sigma}(x+|y|)dS$
$\iint_{\Sigma}(x+|y|)dS=\iint_{\Sigma}|y|dS=8\iint_{\Sigma_1}ydS$
$=8 \sqrt{3}\int_0^1dx\int_0^{1-x} ydy=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

例题 $\color{red}{(经典题型)}$
求锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2x$ 所截部分面积
$S=\iint_{D_{xy}}1\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dS=\sqrt{2}\pi$

第二型曲线积分

第二型曲线积分的几何意义与向量场相关，最具体的实例就是变力沿曲线做功的问题
变力沿曲线做功的微分形式： $dw=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=p(x,y)dx+q(x,y)dy$
其中 $p(x,y)$ 是 $\overrightarrow{F}$ 沿x方向的分力， $q(x,y)$ 是 $\overrightarrow{F}$ 沿y方向的分力
所以变力沿着一条曲线做功的总和为 $\int_{L}dw=\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
对于空间曲线也是同样的： $\int_{L}dw=\int_{L}p(x,y,z)dx+q(x,y,z)dy+r(x,y,z)dz$
平面第二型曲线积分的计算：

当曲线为参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}(\alpha\le t \le\beta)$ 时，
$\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
$=\int_{\alpha}^{\beta}[p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t),y(t))y'(t)]dt$
当曲线积分的方程为 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 时
$\int_{L}p(x,y)dx+q(x,y)dy$
$=\int_{a}^{b}[p(x,y(x))+q(x(t),y(x))y'(x)]dx$

3.格林公式法：设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成， $P(x,y),Q(x,y)$ 在D上具有一阶连续偏导数，L取正向，则
$\oint_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dt=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$
这里所谓的L取正向，是指假如有一个人沿着L行走，L所围成的区域D永远在他的左手侧

需要注意的是，在下面两种情况下，格林公式无法直接使用，但是可以通过“补线法”或者“挖去法”来使用格林公式

区域不封闭

例题
已知曲线L的方程为 $y=1- |x|(x\in[-1,1])$ ，起点为 $(-1,0)$ 终点为 $(1,0)$ ，计算曲线积分 $\int_{L}xydx+x^2dy$
使用补线法，如图

其中 $\bar{L}:y=0,x\in[-1,1]$
所以 $\int_{L}xydx+x^2dy=-\iint_{D}(2x-x)d\sigma+\oint_{\bar{L}}xydx+x^2dy$
$=0+0$
$=0$

L上存在偏导数不存在的"奇点"

例题
计算曲线积分 $\oint\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}$ ，其中L是以 $(1,0)$ 为圆心，半径为1的圆周，取逆时针方向

所以 $\oint\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2} = \oint_{L^++C^-}-\oint_{c^-}$
当 $x\ne 0,y\ne 0$ 时， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
所以 $\oint_{L^++c^-}-\oint_{c^-}=-\oint_{c^-}=\oint_{c^+}$
因为 $\color{red}{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}}$
所以积分与路径无关
所以这里的c可以取任何封闭路径，所以这里不妨令 $c:4x^2+y^2=4$
$\therefore \oint_{c^+}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2} = \frac{1}{4}\oint_{c^+}xdy-ydx = \frac{1}{4}\iint_{D} 2 d\sigma$
$=\pi$

第二型曲面积分

和第二型曲线积分一样，第二型曲面积分没有几何意义，只是有物理意义，一般的第二型曲面积分为
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$
第二型曲面积分的计算方法可以将其当作第一型曲面积分来进行处理，即
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y)dxdy$
$=\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+\iint_{\Sigma}P(x,y,z)dxdz+\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy$
$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}P(x,y,z(y,z))dxdy$
其中 $D_{xy}$ 为 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影，当 $\Sigma$ 的法向量与z轴的夹角为锐角时，积分取正，否则取负。
和第二型曲线积分一样，第二型曲面积分在积分区域是封闭曲面，并且处处可偏导的情况下可以使用高斯公式直接转换成三重积分：
$\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dydz+P(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$
$=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$