椭圆几何参数与椭圆方程参数的相互转换

椭圆几何参数

椭圆的几何参数包括：中心点坐标、半长轴、半短轴、长轴与 X 轴夹角
椭圆方程为：

给定椭圆几何参数，求其方程参数

首先将椭圆中心移动到坐标系原点，并绕中心旋转顺时针旋转 $\theta$ ，使长轴与 X 轴夹角为 0。对于椭圆上一点 $(x,y)$ ，经过上述变换后的点 $(x',y')$ 为：
$\begin{align} x' &= (x-x_0)* \cos \theta + (y-y0)*\sin \theta\\ y' &= -(x-x_0)* \sin\theta + (y-y0)*\cos\theta \end{align} \tag{1}$
由于
$\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}=1 \tag{2}$
将 (1) 代入 (2) 并整理可得：
$\begin{align} A &= a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta \\ B &= 2\sin\theta\cos\theta(b^2-a^2) \\ C &= a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta \\ D &= -By_0-2Ax_0 \\ E &= -Bx_0-2Cy_0 \\ F &= Ax_0^2 + Cy_0^2 + Bx_0y_0 - a^2b^2 \end{align}$

给定椭圆方程参数，求其几何参数

参考博文：椭圆一般方程（ABCDEF）转椭圆参数方程（长短轴，几何中心）。
长轴倾角：
$\theta = \frac{1}{2}\arctan{\frac{B}{A-C}}$
椭圆中心：
$\begin{align} x_0 =& \dfrac{BE-2CD}{4AC-B^2} \\ y_0 =& \dfrac{BD-2AE}{4AC-B^2} \end{align}$
上述参考博文中，长短轴的计算是错的，参考 Matrix representation of conic sections，根据二次方程矩阵可推导出：
$a, b = \sqrt{-\dfrac{Dx_0+Ey_0+2F}{A+C\pm\sqrt{(A-C)^2+B^2}}}$