向量值函数笔记: L^p空间

这是向量值函数(B值函数)系列笔记的第二篇. 为方便阅读, 这里放出目录:
(1)向量值函数笔记: Bochner积分
(2)向量值函数笔记: L^p空间
(3)向量值函数笔记:Sobolev空间

如果有记号未曾定义便出现, 请参考前面的笔记.

我们在上一篇笔记已经定义了Bochner-Lebesgue空间, 为了这篇笔记的完整性, 我们再誊抄一遍.

定义1(Bochner-Lebesgue空间). 设 $1\le p<\infty$ , 我们定义Bochner-Lebesgue空间 $L^p(S;X)$ 为所有满足
$\|u\|_{L^p(S;X)}=\left(\int_S\|u\|^pd\mu\right)^{1/p}<\infty$
的强可测函数全体. 当 $p=\infty$ 时, 定义 $L^\infty(S;X)$ 为所有满足
$\|u\|_{L^\infty(S;X)}=\operatorname{esssup}_{s\in S}\|u(s)\|<\infty$
的强可测函数全体.

定理2. 当 $1\le p\le\infty$ 时, $L^p(S;X)$ 是Banach空间(在模去几乎处处相等的意义下).
证明. 齐次性是明显的, 而要证明三角不等式只需注意到 $\|u\|_{L^p(S;X)}=\|\|u\|_{X}\|_{L^p(S)}$ , 然后利用 $X$ 的三角不等式和标量 $L^p$ 空间的三角不等式即可. 当 $\|u\|_{L^p(S;X)}=0$ 时, 按定义可知 $\|u\|_X$ 几乎处处为零, 故 $u$ 也几乎处处为零. 这就验证好了 $L^p(S;X)$ 是赋范线性空间.
现在验证完备性.
先考虑 $1\le p<\infty$ 的情形. 设 $\{u_n\}$ 是 $L^p(S;X)$ 中的Cauchy列, 通过取子列我们不妨设 $\|u_n-u_{n+1}\|_p\le1/2^n$ , 并且不妨设 $u_0=0$ . 此时设 $\sum_{n=0}^\infty\|u_{n+1}-u_n\|_p=B<\infty$ . 考虑标量函数 $G_N(s):=\sum_{n=0}^N|u_{n+1}(s)-u_n(s)|\ge|u_N(s)|$ , $G(s):=\sum_{n=0}^\infty|u_{n+1}(s)-u_n(s)|$ . 则 $\|G_N\|_p\le\sum_{n=0}^N\|u_n-u_{n+1}\|_p\le B$ , 利用单调收敛定理, 有 $\|G\|_p=\lim_{N\rightarrow\infty}\|G_N\|_p\le B$ , 这说明 $G<\infty$ a.e.. 这又进一步说明 $F(s):=\sum_{n=0}^\infty(u_{n+1}(s)-u_n(s))$ 是几乎处处有定义的 $X$ 值函数, 并且 $F\in L^p(S;X)$ . 为了证明 $\|F-u_N\|_p\rightarrow0$ , 注意到 $|F-u_N|^p\le2^pG^p\in L^1(S)$ , 再利用向量值Lebesgue控制收敛定理即得结论.
再证 $p=\infty$ 的情形, 但这个较 $1\le p<\infty$ 为容易, 所以暂时略去, 以后有时间再补. $\blacksquare$

接着我们要讨论光滑函数在 $L^p(\mathbb{R};X)$ 中的稠密性. 首先从简单函数在 $L^p(S;X)$ 中的稠密性开始.

命题3. 设 $1\le p<\infty$ , $u\in L^p(S;X)$ , 则存在可测简单函数 $u_n\in L^p(S;X)$ , 使得 $u_n$ 在 $L^p(S;X)$ 中收敛到 $u$ .
证明. 由于 $u$ 强可测, 所以存在可测简单函数 $u_n$ a.e.收敛到 $u$ , 并且可以不妨假设 $\|u_n\|\le2\|u\|$ (若不然, 做个截断即可). 再利用向量值控制收敛定理即得结论. $\blacksquare$

命题4. 设 $1\le p<\infty$ , $U\subset\mathbb{R}^d$ 是开的. 那么 $C_c^\infty(U;X)$ 在 $L^p(U;X)$ 中稠密.
证明. 由前面的命题, 对 $u\in L^p(U;X)$ , 存在可测简单函数 $u_n$ 逼近 $u$ , 并且 $\|u_n\|\le2\|u\|$ . 我们还注意到由于 $u_n\in L^p(U;X)$ , 所以对任何 $c\in u_n(U)$ , 有 $\mathcal{L}^d(u_n^{-1}(c))<\infty$ .
这样一来, 我们只需要用紧支光滑函数逼近 $c\chi_E$ , 其中 $E\subset U$ , $\mathcal{L}^d(E)<\infty$ , $c\in X$ . 记 $U_k=\{x\in U|\operatorname{dist}(x,\partial U)>1/k\}$ . 由于在 $L^p(U;X)$ 中 $c\chi_{E\cap U_k\cap B_k(0)}\rightarrow c\chi_E$ , 故我们完全可以不妨设 $E\subset U_N$ , 且 $E$ 有界.
考虑 $c\chi_E$ 的光滑化 $c\chi_E\ast\alpha_\varepsilon\in C_c^\infty(U;X)$ , 其中 $\varepsilon<1/N$ . 我们只需证明在 $L^p(U;X)$ 中 $c\chi_E\ast\alpha_\varepsilon\rightarrow c\chi_E$ 即可.
在 $L^p(U)$ 中 $\chi_E\ast\alpha_\varepsilon\rightarrow\chi_E$ , 故 $\|c\chi_E\ast\alpha_\varepsilon-c\chi_E\|_{L^p(U;X)}$ $=\|c\|_X\|\chi_E\ast\alpha_\varepsilon-\chi_E\|_{L^p(U)}\rightarrow 0$ . 这样就证明了命题. $\blacksquare$

紧支光滑函数的稠密性主要是用来建立光滑化的收敛性, 这也是下面这个推论所说的.

推论5. 设 $1\le p<\infty$ , $u\in L^p(\mathbb{R}^d;X)$ , 则在 $L^p(\mathbb{R}^d;X)$ 中 $u^\varepsilon:=u\ast\alpha_\varepsilon\rightarrow u$ .
证明. 我们先来计算 $\|u^\varepsilon\|_{L^p(\mathbb{R}^d;X)}$ :
$\|u^\varepsilon\|_{L^p(\mathbb{R}^d;X)}=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\|u^\varepsilon\|_X^pdx\right)^{1/p}$
$=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left\|\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)u(x-y)dy\right\|^pdx\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left|\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)\|u(x-y)\|_Xdy\right|^pdx\right)^{1/p}$
$\overset{\text{Minkowski}}{\le}\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)^p\|u(x-y)\|_X^pdx\right)^{1/p}dy$
$=\|u\|_{L^p(\mathbb{R}^d;X)}$
现在任取 $\delta>0$ , 根据前面的引理, 可以取 $v\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d;X)$ 使得 $\|u-v\|_{L^p(\mathbb{R}^d;X)}<\delta/3$ , 这样我们有
$\|u-u^\varepsilon\|_{L^p}\le\|u-v\|_{L^p}+\|v-v^\varepsilon\|_{L^p}+\|u^\varepsilon-v^\varepsilon\|_{L^p}$
$\le2\|u-v\|_{L^p}+\|v-v^\varepsilon\|_{L^p}$
$<\frac{2\delta}{3}+\|v-v^\varepsilon\|_{L^p}$
利用 $v$ 的紧支光滑性, 可以证明当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时, $v^\varepsilon$ 一致收敛于 $v$ , 并且在一个固定的紧集外为零, 故 $\|v-v^\varepsilon\|_{L^p}\rightarrow0$ . 现在取 $\varepsilon$ 充分小, 使得 $\|v-v^\varepsilon\|_{L^p}<\delta/3$ , 即有 $\|u-u^\varepsilon\|_{L^p}<\delta$ . $\blacksquare$

实际上我们还有逐点收敛:

命题6. 设 $1\le p<\infty$ , $u\in L^p(\mathbb{R};X)$ . 则 $u^\varepsilon$ a.e.收敛到 $u$ .