|咸鱼学保护| 信号与系统之离散复指数信号

一.自变量的周期性


w是离散信号的频率,现在确定这个信号的周期:


这个信号就是一个周期信号,N就是这个信号的周期,N可以这样确定:

这里我们一般要求N和m没有公因子。由于离散信号的自变量只在整数点取值,根据这一原则,可以调整m的取值,使得N为整数。

举几个例子

1.

可以这样理解,离散信号

是由周期T=3s的连续信号


每隔t=1s采样一个点得到的,并且离散信号的离散周期N=3,连续信号的连续周期为T=3s。

绘制这个信号的实部的图像

2.

可以这样理解,离散信号

是由周期T=1.5s的连续信号

每隔t=1s采样一个点得到的,并且离散信号的离散周期N=3,连续信号的连续周期为T=1.5s,也就是说,要用2个连续周期才能采样得到离散信号。

绘制图像

换个角度,如果放宽条件,N和m可以有公因子,那么就会有无穷多对N和m

可以这样理解,离散信号

是由周期T=3s的连续信号

每隔t=2s采样一个点得到的,并且离散信号的离散周期N=3,连续信号的连续周期为T=3s,由于是每隔2s采样一个点,要用2个连续周期才能采样得到离散信号。

绘制图像

3.

可以这样理解,离散信号


是由周期T=3/4s的连续信号

每隔t=1s采样一个点得到的,并且离散信号的离散周期N=3,连续信号的连续周期为T=3/4s,也就是说,要用4个连续周期才能采样得到离散信号。

图像

可以看到离散信号的离散周期都是3,而蕴含的连续信号则各不相同。

以上例子都是周期信号,什么时候离散复指数信号就不是周期的?当N无法构成一个整数时,就不是周期信号了。

二.频率的周期性

由于n只能取整数

可见w+k·2π后,信号完全相同。也就是说,在考察离散信号的频率响应时,只需要考虑2π范围内即可。w从0到π,频率增大,从π到2π,频率减小。

w=0时,为一个直流信号:

w=π/2:

w=π时,每隔一个采样点翻转一次,这时的离散频率是最高的:

w=3π/2:

w=2π,离散信号又称为了一个直流的信号:

我们可以感受到,在频率增大的过程中,连续时间信号的振荡频率是一直在增加的,而离散信号的振荡频率则是先增大后减小,在w=0或2π附近是低频,在w=π附件是高频。离散信号的频率w与信号的振荡频率并不是完全相同的。

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