高等数学：微分中值定理与导数的应用题选(3)

1.确定下列函数的单调区间：

$(1)y=\sqrt[3]{(2x-a)(a-x)^2}(a\gt 0)$

$(2)y=x+|sin2x|$

解：

$(1)y'={1\over 3}{1\over\sqrt[3]{(2x-a)^2(a-x)^4}}(6x^2-10ax+4a^2)$

$={2\over 3}{x-a\over\sqrt[3]{(2x-a)^2(x-a)}}(3x-2a)(x-a)$

$={2\over 3}{1\over\sqrt[3]{(2x-a)^2(x-a)}}(3x-2a)$

$\therefore 当x\in (-\infty,{a\over 2})时,y'\gt 0,当x\in ({a\over 2},{2\over 3}a)时,y'\gt 0$

$当x\in ({2\over 3}a,a)时,y'\lt 0,当x\in (a,+\infty)时,y'\gt 0$

$\therefore 函数y=\sqrt[3]{(2x-a)(a-x)^2}(a\gt 0)在(-\infty,{2\over 3}a]内单调递增,$

$在[{2\over 3}a,a]内单调递减,在[a,+\infty)内单调递增$

$(2)函数的定义域为(-\infty,+\infty)$

$y=\begin{cases}x+sin2x\qquad k\pi\le x\le k\pi+{\pi\over 2}\\ x-sin2x\qquad k\pi+{\pi\over 2}\lt x\lt (k+1)\pi\end{cases}k\in Z$

$\therefore y'=\begin{cases}1+2cos2x\qquad k\pi\le x\le k\pi+{\pi\over 2}\\ 1-2cos2x\qquad k\pi+{\pi\over 2}\lt x\lt (k+1)\pi\end{cases}k\in Z$

$当x\in(k\pi,k\pi+{\pi\over 3})时,y'\gt 0,当x\in(k\pi+{\pi\over 3},k\pi+{\pi\over 2})时,y'\lt 0$

$当x\in(k\pi+{\pi\over 2},k\pi+{5\pi\over 6})时,y'\gt 0,当x\in(k\pi+{5\pi\over 6},k\pi+\pi)时,y'\lt 0$

$\therefore 函数y=x+|sin2x|在[k\pi,k\pi+{\pi\over 3}]内单调递增,$

$在[k\pi+{\pi\over 3},k\pi+{\pi\over 2}]内单调递减,在[k\pi+{\pi\over 2},k\pi+{5\pi\over 6}]内单调递增,$

$在[k\pi+{5\pi\over 6},k\pi+\pi]内单调递减$

2.证明不等式 $当0\lt x\lt {\pi\over 2}时,sinx+tanx\gt 2x$

证：

$设f(x)=sinx+tanx-2x,则$

$f'(x)=cosx+sec^2x-2={cos^3x+1-2cos^2x\over cos^2x}$

$设cosx=t,0\lt x\lt {\pi\over 2}\Rightarrow 0\lt t\lt 1$

$设g(t)=t^3+1-2t^2,则g'(x)=3t^2-4t=t(3t-4)\lt 0$

$\therefore g(t)在[0,1]内单调递减$

$\therefore 0\le t\lt 1时,g(t)\gt g(1)=0$

$即0\le t\lt 1时,t^3+1-2t^2\gt 0$

$即0\le x\lt {\pi\over 2}时,cos^3x+1-2cos^2x\gt 0$

$\therefore f(x)在[0,{\pi\over 2})上单调递增$

$\therefore f(x)\gt f(0)=0$

$即0\lt x\lt {\pi\over 2}时,sinx+tanx\gt 2x$

3.讨论方程 $lnx=ax(其中a\gt 0)$ 右几个实根

解：

$设f(x)=lnx-ax,则$

$f'(x)={1\over x}-a={1-ax\over x}$

$\therefore 当x\in(0,{1\over a})时f'(x)\gt 0,当x\in({1\over a},+\infty)时,f'(x)\lt 0$

$\therefore f(x)在(0,{1\over a}]内单调递增,在[{1\over a},+\infty)内单调递减$

$又f({1\over a})=ln{1\over a}-1=-lna-1$

$且\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$

$\therefore 当x\in(0,{1\over a})时,f(x)\lt f({1\over a})=-lna-1$

$当x\in({1\over a},+\infty)时,f(x)\lt f({1\over a})=-lna-1$

$\therefore 当-lna-1=0,即a={1\over e}时,方程只有一个实根$

$当-lna-1\lt 0,即a\gt {1\over e}时,方程没有实根$

$当-lna-1\gt 0,即a\lt {1\over e}时,方程有两个实根$

4.设I为任一无穷区间,函数f(x)在区间I上连续,在I内可导,证明：若f(x)在I的任一有限的子区间上 $f'(x)\ge 0(或f'(x)\le 0)$ ,且等号仅在有限多个点处成立,则f(x)在区间I上单调增加(或单调减少)

证：

$不妨设f'(x)\ge 0,x\in I,则$

$\forall x_1,x_2\in I,且x_1\lt x_2$

$在[x_1,x_2]上由Lagrange定理知$

$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\ge 0,\xi\in(x_1,x_2)$

$即f(x_2)\ge f(x_1)$

$\therefore f(x)在I上单调增加$

$\forall x\in[x_1,x_2],f(x_2)\ge f(x)\ge f(x_1)$

$假设f(x_1)=f(x_2),则$

$f(x)\equiv f(x_1),x\in[x_1,x_2]$

$\therefore f'(x)\equiv 0,x\in[x_1,x_2],矛盾$

$\therefore f(x_2)\gt f(x_1)$

$\therefore f(x)在I上单调增加$

$f'(x)\le 0,x\in I时,同理可证f(x)在I上单调减少$

5.证明不等式 $xlnx+ylny\gt (x+y)ln{x+y\over 2}(x\gt 0,y\gt 0,x\neq y)$

证：

$设f(x)=xlnx,则$

$f'(x)=lnx+1,f''(x)={1\over x}$

$当x\gt 0时,f''(x)\gt 0$

$\therefore f(x)=xlnx在(0,+\infty)内为凹的$

$\therefore \forall x\neq y,有f({x+y\over 2})\lt {f(x)+f(y)\over 2}$

$即{x+y\over 2}ln{x+y\over 2}\lt {1\over 2}(xlnx+ylny)$

$xlnx+ylny\gt (x+y)ln{x+y\over 2}$

6.证明曲线 $y={x-1\over x^2+1}$ 有三个拐点位于同一直线上

证：

$y={x-1\over x^2+1}$

$y'={-x^2+2x+1\over (x^2+1)^2}$

$y''={2(x+1)(x^2-4x+1)\over (x^2+1)^3}$

$令y''=0得x_1=-1,x_2=2+\sqrt{3},x_3=2x-\sqrt{3}$

$当x\in (-\infty,-1)时,y''\lt 0,当x\in (-1,2-\sqrt{3})时,y''\gt 0$

$当x\in (2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})时,y''\lt 0,当x\in (2+\sqrt{3},+\infty)时,y''\gt 0$

$x_1=-1时,y_1=-1,x_2=2+\sqrt{3}时,y_2={-1+\sqrt{3}\over 4}$

$x_3=2-\sqrt{3}时,y_3={-1-\sqrt{3}\over 4}$

$\therefore (-1,-1),(2+\sqrt{3},{-1+\sqrt{3}\over 4}),(2-\sqrt{3},{-1-\sqrt{3}\over 4})是曲线y={x-1\over x^2+1}的三个拐点$

$(2+\sqrt{3},{-1+\sqrt{3}\over 4})-(-1,-1)=(3+\sqrt{3},{3+\sqrt{3}\over 4})$

$(2-\sqrt{3},{-1-\sqrt{3}\over 4})-(-1,-1)=(3-\sqrt{3},{3-\sqrt{3}\over 4})$

$(3+\sqrt{3},{3+\sqrt{3}\over 4})={3+\sqrt{3}\over 3-\sqrt{3}}(3-\sqrt{3},{3-\sqrt{3}\over 4})$

$\therefore 三个拐点在同一条直线上$

7.设 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内具有三阶连续导数,若 $f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq 0$ ,则 $(x_0,f(x_0))$ 是否为拐点

解：

$(x_0,f(x_0))是为拐点$

$证明如下：$

$f'''(x_0)\neq 0$

$\therefore 不妨设f'''(x_0)\gt 0$

$\because f'''(x)在x=x_0的某邻域内连续$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}f'''(x)=f(x_0)\gt 0$

$由保号性知$

$\exists \delta\gt 0,当x\in U(x_0;\delta)时,f'''(x_0)\gt {f'''(x)\over 2}\gt 0$

$\therefore f''(x)在U(x_0;\delta)上单调递增$

$又f''(x_0)=0$

$\therefore 当x\in (x_0,x_0+\delta)时,f''(x)\gt f''(x_0)=0,即f(x)是凹的$

$当x\in (x_0-\delta,x_0)时,f''(x)\lt f''(x_0)=0,即f(x)是凸的$

$\therefore (x_0,f(x_0))为f(x)的拐点$

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