关注数学素养，用数学语言表达世界
——数学核心素养在“运算律”教学中的培养
乐平市第九小学蒋铭国
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应学生个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个核心素养。六个核心素养并非相互分离，而是密切联系，融为一体的。数学来自于生活，又实践于生活。数学教学的使命，就是让我们的学生最终学会“用数学的眼睛看”世界，“用数学的思维想”世界，“用数学的语言说”世界。
“用数学的眼睛看”世界，离不开“数学抽象”和“直观想象”；“用数学的思维想”世界，离不开“逻辑推理”和“数学运算”；“用数学的语言说”世界，离不开“数学建模”和“数据分析”。
最近在教学“运算律”，包括加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律。现结合在运算律教学中如何借助教学内容培养学生核心素养，谈谈自己粗浅的认识与思考。
一、数学抽象和直观想象素养的培养
我们使用的教材是北师大版。运算律教学安排在四年级上册后半学期开始部分。从它在教材中所处的位置来看，运算律就是本册教材中最重要的部分之一。
“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。“数学抽象”是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者术语予以表征。简而言之，抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。“直观想象”是“数学抽象”的基础，是“数学抽象”的起始阶段，也是一种“数学抽象”，更是构建与形成其他数学核心素养的重要基础。
纵观教材上的每一个运算律教学内容安排，都是提供情境图或者现实背景图，让学生在现实背景中理解数量之间的关系。这就是巩固孩子的直观想象能力，也是进一步促进直观想象能力的发展。直观想象素养是孩子最基本的数学素养。
例如：在加法结合律教材编排中，提供了两副情境图。以图一为例，画面呈现是小猴、松鼠、机灵狗在果园里分别摘桃30个、梨40个和苹果50个。算式：(30+40)+50与30+(40+50)分别表示什么？由于孩子具备了一定的直观想象能力与生活经验，于是能够比较容易地叙述算式所表达的意义。即使少数同学语言表达有所欠缺，但是也能够做到心领神会。
第一个算式所表达的含义是：先算桃和梨一共有多少个？然后桃与梨的个数，再加上苹果的个数，最后一共有多少个？第二个算式所表达的含义是：先算梨和苹果一共有多少个？然后再用桃的个数，加上梨和苹果的总数，最后一共是多少个？通过直观想象，孩子不难发现：虽然他们算的顺序有所不同，但是他们最终都是算了桃、梨和苹果三种水果一共有多少个？所以最后的结果一定是相等的。在此教学过程当中，直观想象能力起到了重要作用，同时也得到了进一步的发展。
在此基础上引入字母表示数。用式子：（a+b）+c=a+（b+c），表示加法结合律，清晰明了，表达准确。虽然之前一至三年级从来没有学习过用字母表示数，但是孩子们积累了一定的生活经验，对字母a、b、c也非常熟悉，只需要告诉孩子用字母代表数，进行简单的符号意识训练，于是孩子们就能够理解式子所表达的含义。
在这一教学过程当中，孩子的数学抽象能力得到两次锻炼及培养。首先是舍去情境，抽象出数字，从而用式子表示，用数学语言表达在此情境中所进行的数学运算与数学活动。其次，从具体的数字当中又抽象出字母。用含字母的式子来表示数量之间的一种运算关系与运算顺序。这种抽象已经脱离了具体的数字，字母可以代表任一数字，而式子所表达的是数量之间的一种恒定的运算关系，即某种运算律。孩子数学抽象素养在此得到了充分的训练与发展。
二、逻辑推理和数学运算素养的培养
“数学运算”是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。“逻辑推理”是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎。数学运算也是一种逻辑推理，数学运算为逻辑推理提供了一种载体与操作方式。数学运算与逻辑推理，是在直观想象与数学抽象的基础上，对指向对象进行的一种更高层次的数学思考与数学思维。
在加法结合律和乘法结合律的教学当中，数学运算能力可以得到很好的训练与发展，同是也可以提高学生的数感能力。学习运算律，最终目的是提高运算能力，让我们能够尽可能进行简便运算，提高数学运算素养。所以在此部分内容教学当中，数学运算素养的训练可以得到淋漓尽致的展现。
例如教材52页：怎样计算简便？想一想，算一算。
57+288+43=
在这一题当中，就是要求学生要能够敏锐地发现57和43相加刚好是100，这既是对学生数感的一次训练与培养，也是对学生进行数学运算素养的训练。
又如教材54页：怎样计算简便？想一想，算一算。
125×9×8=
在这一题当中，同样需要孩子观察算式中运算符号和数的特点。通过这题的训练，让孩子明白，125×8等于1000，可以先算，有利简便运算。在后续的训练题当中，要让孩子明白25×4等于100，50×2等于100，25×8等于200，125×4等于500。在这些训练当中，孩子的数感得到增强，运算能力得到大幅度的提升。
在“加法交换律和乘法交换律”、“加法结合律”和“乘法结合律”三节教学内容安排中的第一个环节，都是“观察下面的式子，你能照样子再写一组吗？说说你发现了什么。”在这一环节教学过程当中，孩子的类比能力的培养，可以得到充分的训练与培养。这是从特殊到特殊的逻辑推理。第二环节是借助情景或现实背景，理解式子成立的合理性与正确性。在第三环节当中，引入字母表示数，在数学抽象的基础下，再次运用归纳推理，从特殊到一般，将逻辑推理素养的训练落到实处。
教材55页第5题：淘气是这样计算24×25的。
24×25
= 6×4×25
= 6×（4×25）
= 6×100
= 600
（1）你能看懂吗？和同伴交流你的想法。
（2）试着运用乘法交换律和乘法结合律进行计算下面各题。
64×125 125×25×32
这一题是一个能力提升题。短时间之内不一定能做到每个人都会。但是这题对于培养学生的数学素养非常有用。第一小题主要是考察学生的数感及数学运算素养。第二小题就是重点培养孩子的类比推理能力。在前面学习当中，当孩子有了125×8等于1000，25×4等于100的数感的前提条件下，然后再在已知运算题的类比推理下，发现第一道题，64可以拆成8×8，并且8和125相乘，刚好是1000。第二道题，32可以拆成4×8，4和25相乘刚好是100，8和125相乘刚好是1000，问题迎刃而解。这是数学运算和逻辑推理素养训练的最佳契机。
又如，在学习了“加法交换律和乘法交换律”之后，教材51页有一道题，“减法和除法也满足交换律吗？举例试一试。”虽然结果是不成立的，但是，这是孩子们进行类比推理的一个良好契机，可以让孩子进行充分类比，并且讨论结果是否成立，引导孩子养成类比的习惯，形成善于思考的品质，提升数学素养。
三、数学建模和数据分析素养的培养
“数据分析”是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。“数学建模”是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学分析也是一种数学建模，它为数学建模提供了更为基础的素材与思维方式。数学分析的基础，来源于直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，同时也为数学建模铺设了更好的平台，最终让我们学会用数学的语言来表达世界。
乘法分配律，在这五个运算律当中是最难掌握的一个定律。教材以实际生活中的事例进行引入，通过两种不同的观测角度计算出一共贴了多少块瓷砖？让学生领悟到不同的算式，只是不同的观察角度，所带来了不同的思维方式的呈现。而思维的最终结果是计算贴了多少块瓷砖，所指向的目的是一致的，是等值的。从而得出这样的两个式子相等。顺而进行数学抽象和归纳推理，得出乘法分配律。为了让这一结果深入孩子心里。教材引用了现实背景进行进一步的验证，并且进行了算理上的推导。这一推导事实上是乘法分配律逆运算的推导。正如小学一年级，学习减法是利用加法理解进行学习的。
乘法分配律的应用，更多的有赖于学生数据分析的素养。例如教材57页：观察34×72+34×28的特点并计算。
此题教学重点就是培养孩子的数据分析能力与素养。让孩子通过观察发现，两个乘法算式中都有34。在此基础上明白：表示72个34，加上28个34，一共有100个34。通过数据分析，让学生明白这个式子符合乘法分配律的特征：中间是加法，前后分别是乘法，并且在前后两个乘法当中有一个乘数是相同的，从而运用乘法分配律的逆运算进行计算。
再如教材58页第5题：妈妈给淘气订了一套可以自由组合的小柜子，每个小柜子18元，柜门上每张贴画2元，算一算，这套小柜子一共花了多少元？
题目右侧配图6个小柜子。按照惯常的分类思想，孩子们可以容易地列出算式：18×6+2×6。这一算式的算理是非常简单的，也是孩子们很容易接受的。在这一题的教学当中，有必要培养孩子的数据分析素养。首先从算式的角度来看，两个乘法中都有一个相同数6。于是可以引导孩子通过乘法分配律，得出（18+2）×6。其次，可以引导孩子直接观察图。通过分析数据得出，每个小柜子18元，柜子上的贴画2元，也就是说，每个小柜子连同门上的贴画一共20元。一共有6个这样的柜子。这样的话可以直接得出算式：（18+2）×6。
在五个运算律当中，加法交换律和乘法交换律，由于孩子在过去的学习当中，有了充分的学习体验。因此掌握起来没有难度。加法结合律和乘法结合律的熟练运用，有赖于运算能力的提升，尤其是数感，发挥着重要的作用。“凑整”是思维的核心。乘法分配律掌握是有一定难度的，需要一定量的训练。
在训练到一定程度的时候，可以让孩子形成数学建模的思想。当然孩子没必要了解建模的概念。当孩子面对一个加法将两个乘法算式连接起来的时候，要有一个敏感度。当这两个乘法算式当中，有一个相同的乘数时，就满足使用乘法分配律的条件，可以运用乘法分配律的逆运算进行简便运算。
又如在教材58页第6题：我们经常用竖式来计算多位数乘法。
（1）你能结合乘法分配律解释其中的道理吗？
26×21
=26×（1+20）
=26×1+26×20
=26+520
=546
（2）尝试运用乘法分配律计算下面各题。
58×11 47×102
在这一题的教学当中，可以引导孩子充分地体验，对比，联系，想象，从而建立一种更高级形式的乘法分配律的模型。然后再把这种模型应用于两数相乘的乘法算式当中。使原本需要列竖式解决的乘法算式，能够直接采用乘法分配律通过递等式计算，直接写出答案，达到简便运算的效果。例如： 47×102
=47×（100+2）
=47×100+47×2
=4700+94
=4794
数学建模，在各种数学核心素养里面是层级最高的素养。数学素养与数学能力历经直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，数据分析，最终形成数学建模，达到数学素养的金字塔塔尖部分。数学建模形成之后，又利用这种素养，反观我们的现实生活，指导与改善我们生活，在条件与机会允许的情况下，形成更高级的数学建模。从而让我们形成用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界的能力。
